Kezdőlap


Feladat:	F.1672	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth István
Füzet:	1970/március, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/szeptember: F.1672

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a függvényt röviden $y$ -nal. Ez az előírt $- 2 < x < - 1 / 3$ és $1 / 3 < x < 2$ számközökben mindenütt értelmezve van, mert ezek minden számával elvégezhető a négy alapművelet (a szögletes zárójelen belüli osztás is).
A $[2 / x]$ függvény a $- 1$ , $- 2 / 3$ , $- 1 / 2$ , $- 2 / 5$ helyeken, ill. a $2 / 5$ , $1 / 2$ , $2 / 3$ , $1$ helyeken eggyel-eggyel csökken, az ezek által meghatározott 5‐5 részintervallumon belül állandó; az első, ill. második intervallum első részintervallumán $- 2$ , ill. $5$ az értéke. Így, a függvényt előállító kifejezést

\begin{matrix} y = ([\frac{2}{x}] + \frac{1}{2}) x - 2 \end{matrix}

alakban írva,

x

együtthatója az említett részintervallumokban állandó, tehát a függvény grafikonjának ide eső része egy-egy egyenesszakasz, melynek meghosszabbítása átmegy az

y

-tengely

- 2

ordinátája pontján, meredeksége rendre

- 3 / 2

- 5 / 2

- 7 / 2

- 9 / 2

- 11 / 2

, ill.

11 / 2

9 / 2

7 / 2

5 / 2

3 / 2

. Az osztópontokban a meredekség a tőlük balra felvett értékkel egyezik meg.
A felsorolt 4‐4 osztópontban a függvény balról folytonos, minden más pontban folytonos.
Mivel a grafikon a

(0, - 2)

ponton átmenő egyenesek szakaszaiból áll, ábrázolhatjuk pl. úgy, hogy minden szakaszból még egy-egy pontot megrajzolunk. Célszerű az egyes részintervallumok jobb végpontjában vett függvényértéket ábrázolni. Itt

[2 / x] = 2 / x

, és így

y = x / 2

, tehát ezek az osztópontok egy egyenesen sorakoznak, azonban a ‐

1 / 3

és

2

abszcisszájú pontok már nem tartoznak a grafikonhoz.

Hasonló megállapítás tehető az egyenesszakaszok bal oldali iránypontjára (végpontjára, amely azonban már nem tartozik a grafikonhoz, az ábrán üres körrel jelölve). Itt

[2 / x]

helyére a

2 / x

(egész) számnál

1

-gyel kisebb szám lép, és így

y = - x / 2

, vagyis ezek a pontok azon az egyenesen sorakoznak, amely az előbbinek a koordinátatengelyekre vett tükörképe.
Mindezekből azt is látjuk, hogy grafikonunk ‐ a tele és üres köröktől eltekintve ‐ szimmetrikus az

y

tengelyre.

Horváth István (Nagykanizsa, Landler J. Gimn., IV. o. t.)