Kezdőlap


Feladat:	F.1669	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Komjáth Péter , Szamosújvári Sándor
Füzet:	1969/december, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Koszinusztétel alkalmazása, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: F.1669

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A derékszög csúcsát az átfogó fölötti Thalész-körből az átfogóra merőleges $m_{c}$ magasság ismeretében fogjuk kimetszeni, az átfogóval párhuzamos, tőle $m_{c}$ távolságban haladó egyenessel. A terület $2$ -szeresének kétféle kifejezése, valamint (1) alapján

\begin{matrix} m_{c} = \frac{a b}{c} = \frac{a + b}{3}, \end{matrix}

eszerint

\begin{matrix} a + b = 3 m_{c}, a b = c m_{c} . \end{matrix}

Így pedig Pitagorasz tétele alapján

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 9 m_{c}^{2} - 2 c m_{c} = c^{2}, \end{matrix}

aminek egyetlen pozitív gyöke

\begin{matrix} m_{c} = c \cdot \frac{1 + \sqrt[]{10}}{9} (\approx c \cdot 0, 46), \end{matrix}

kisebb a Thalész-kör

c / 2

sugaránál, tehát van megoldás, éspedig a szimmetria miatt lényegében egyetlen megoldás van.

m_{c}

egy lehetséges szerkesztése: derékszögű háromszöget szerkesztünk

P R = 3 P Q = 3 c

és

R S = c

befogókból, az átfogó

S

-en túli meghosszabbítására

S T = c

-t,

P R

-nek

R

-en túli, meghosszabbítására

R U = 2 P R

-et mérünk fel, végül

P S

-et metsszük a

Q

-n átmenő,

T U

-val párhuzamos egyenessel

V

-ben, ekkor

P V = m_{c}

(1. ábra).

1. ábra

Megjegyzés. Az

m_{c}

szakasz egy más megszerkesztése: az

A B = c

szakasz

A

végpontjából tetszőleges irányban

9

egységnyi szakaszt mérünk fel, végpontjaik

P_{1}, P_{2}, ..., P_{9}

P_{4}

-ben merőlegesen felmérjük

P_{4} F = 1

-et,

F

-et

P_{1}

körül ráforgatjuk

P_{1} P_{9}

-re,

G

-be, ekkor a

G

-n átmenő,

B P_{9}

-cel párhuzamos egyenes

A B

-ből

A H = m_{c}

szakaszt metsz le (2. ábra).

2. ábra

Komjáth Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Felhasználhatjuk, hogy a derékszögű háromszög megszerkeszthető átfogójának és a derékszög felezőjének hosszából, ¹ ugyanis (1) alapján a mondott

f_{c}

felező a minden háromszögre érvényes összefüggésből könnyen kifejezhető:

\begin{matrix} f_{c} = \frac{2 a b cos γ / 2}{a + b} = \frac{2 c}{3} cos \frac{γ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{c}{\sqrt[]{2}}, \end{matrix}

c

átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogójának

2 / 3

része.
Messe az

A C B

derékszög felezője az

A B

átfogót

D

-ben, az átfogó Thalész-körét

E

-ben. Ekkor

E

felezi a

C

-t nem tartalmazó

A B

ívet,

E A D ∢ = E C A ∢

E A D_{▵} \sim E C A_{▵}

, és

E D = x

jelöléssel

x (x + f_{c}) = E A^{2} = c^{2} / 2

, amiből

\begin{matrix} x = \sqrt[]{\frac{c^{2}}{2} + \frac{f_{c}^{2}}{4}} - \frac{f_{c}}{2} . \end{matrix}

Ennek alapján

D

kimetszhető, végül

E D

a körből kimetszi

C

-t. (3. ábra,

A E

-nek

B E'

tükörképét harmadoltuk az

F

ponttal, ekkor

x = E F - F B

3. ábra

Szamosújvári Sándor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.)

¹Lásd pl. 1123. feladat, K. M. L. 24 (1962) 201. o.; a derékszög helyén tetszőleges szög is állhat.