|
Feladat: |
F.1667 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajmóczy E. , Balogh Z. , Donga Gy. , Fischer Ágnes , Gál P. , Galántai A. , Gegesy F. , Komjáth P. , Legeza L. , Maróti P. , Nikodémusz Anna , Pál J. , Papp Zoltán , Somorjai G. , Viszkei Gy. |
Füzet: |
1970/január,
10 - 12. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökös függvények, Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/május: F.1667 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A függvény minden értékre értelmezve van, mert folytán a négyzetgyökjel alatt nem állhat negatív érték. Emiatt | | így a függvény értéke sehol sem negatív, a 0 értéket viszont felveszi, ahol , azaz A függvény minimuma tehát . Jelöljük a függvényértéket röviden -nal. Az ezt megadó összefüggésből olyan egyenletet alakítunk, amelyben csak egyetlen szögfüggvény szerepel. négyzetét felírva és rendezve Innen négyzetét heghatározva egy csak -et tartalmazó összefüggést kapunk: | | vagy hatványai szerint rendezve | | Ez -re másodfokú egyenlet. csak olyan értékeket vehet fel, amikre ennek van megoldása, tehát a diszkrimináns. ill. annak negyedrésze nem negatív: | | Ez fennáll, ha vagy ha a második tényező nem negatív, így A értéket arra az értékre veheti fel , amelyre (a fenti egyenletből) Ez pozitív, 1-nél kisebb érték, mivel , így van olyan , amire | | Behelyettesítés azt adja, hogy az először említett helyeken a függvény valóban a értéket veszi fel (az utóbbiakon nem). Így a függvény maximális értéke .
II. megoldás. A maximumnak a derivált 0-helyeiből való meghatározása céljára helyett bevezetjük a változót, tehát az függvény maximumát keressük. Így | | | | (1) | A nevező a maximum helyén nem lehet , más szóval a helyet kizárjuk, -t szerint periodikus volta alapján csak a és intervallumokban vizsgáljuk. A követelményből rendezéssel, négyzetreemeléssel és ismert azonosságok alkalmazásával
vagyis maximum csak ott lehet, ahol Ez miatt a és intervallumokban ad egy-egy értéket. Minthogy azonban a négyzetre emeléssel nem ekvivalens átalakítást végeztünk, ezeket ellenőriznünk kell. (2) helyettesítésével (1) első tagja és a második tag nevezője pozitív, a számláló pedig a intervallumban pozitív, ott tehát -nak nincs gyöke. A intervallumbeli értékre, vagyis ahol | | teljesül , ugyanis a nevező értéke Minthogy pedig a -et közrefogó és helyeken és , azért itt létezik maximum, és értéke
Papp Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn.) |
|
|