Kezdőlap


Feladat:	F.1666	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Z. , Fazekas G. , Fischer Ágnes , Gajdács Ibolya , Gál P. , Gegesy F. , Göncizi I. , Hetzer J. , Horváth M. , Kóczy L. , Komócsi S. , Kovács György , Lengyel J. , Martoni V. , Nikodémusz Anna , Pál J. , Papp L. , Papp Z. , Pethő G. , Pressing L. , Sailer K. , Simon Júlia , Somorjai G. , Szabados Gy. , Szamosújvári S. , Szigeti M. , Tarsó B. , Terjék J. , Zachar Z.
Füzet:	1969/december, 205 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökös függvények, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: F.1666

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f (x)$ -et előállító kifejezésnek azokra az $x$ -ekre van értelme, amelyekre $\sqrt[]{a^{2} - x^{2}}$ -nek van értelme, továbbá a nevező nem $0$ . Az első feltételt azok az $x$ értékek elégítik ki, amelyekre

\begin{matrix} - | a | ≦ x ≦ | a | . \end{matrix}

(2)

A nevező sohasem

0

, ha

a

negatív, mert ekkor

\begin{matrix} a - \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} ≦ a (< 0), \end{matrix}

tehát a kifejezésnek van értelme az egész (2) számközben. Ha

a

pozitív, akkor ki kell hagynunk (2)-ből az

x = 0

középpontot.
Függvényünk így értelmezve van az

x = 0

hely környezetében, beszélhetünk az illető helyen a határértékéről. Ennek megállapítási érdekében alakítsuk át a függvényt:

\begin{matrix} f (x) = \frac{x^{2}}{a - \sqrt[]{a^{2} - x^{2}}} \cdot \frac{a + \sqrt[]{a^{2} - x^{2}}}{a + \sqrt[]{a^{2} - x^{2}}} = a + \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} . \end{matrix}

x

értéke közel van

0

-hoz,

(a^{2} - x^{2})

értéke

a^{2}

-hez,

\sqrt[]{a^{2} - x^{2}}

értéke

\sqrt[]{a^{2}} = | a |

-hez lesz közel, így azt várjuk, hogy

\begin{matrix} {lim}_{x \to 0}^{} f (x) = a + | a | = b . \end{matrix}

(3)

Ezt akkor bizonyítjuk be, ha megmutatjuk, hogy tetszőleges pozitív

ε

-hoz van olyan

δ

, hogy a

\begin{matrix} 0 < | x | < δ \end{matrix}

(4)

egyenlőtlenségből következik, hogy

\begin{matrix} | f (x) - b | < ε . \end{matrix}

(5)

Induljunk ki (5)-ből:

\begin{matrix} f (x) - b = (a + \sqrt[]{a^{2} - x^{2}}) - (a + | a |) = + \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} - | a | . \end{matrix}

Ezzel a különbséggel végezzük el az előbb használt átalakítás fordítottját:

\begin{matrix} f (x) - b = (\sqrt[]{a^{2} - x^{2}} - | a |) \cdot \frac{\sqrt[]{a^{2} - x^{2}} + | a |}{\sqrt[]{a^{2} - x^{2}} + | a |} = \frac{- x^{2}}{\sqrt[]{a^{2} - x^{2}} + | a |}, \end{matrix}

emiatt

\begin{matrix} | f (x) - b | = \frac{x^{2}}{\sqrt[]{a^{2} - x^{2}} + | a |} . \end{matrix}

Ennek kell

ε

-nál kisebbnek lennie, ami biztosan teljesül, ha

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{| a |} < ε, azaz | x | < \sqrt[]{ε \cdot a} . \end{matrix}

(4)-ből tehát valóban következik (5), ha

δ

-nak

\sqrt[]{ε \cdot a}

és

a

kisebbikét, ill. ha egyenlők, közös értéküket választjuk.
Eredményünk így is kimondható

\begin{matrix} {lim}_{x \to 0}^{} f (x) = {\begin{matrix} 0, & ha a < 0, \\ 2 a, & ha a > 0. \end{matrix} \end{matrix}

Megjegyzés. Esetünkben meghatározható lett volna

δ

legnagyobb megfelelő értéke, erre azonban nincs szükség. A fenti

δ

értékek lényegesen kevesebb fáradsággal adódtak.