Kezdőlap


Feladat:	F.1665	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/október, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: F.1665

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorzat abszolút értéke egyenlő a tényezőinek abszolút értékéből képezett szorzattal, és fordítva, tehát az

\begin{matrix} (x + 1) (x - 2) (x + 3) (x - 4) = x^{4} - 2 x^{3} - 13 x^{2} + 14 x + 24 és \\ (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) = x^{4} + 2 x^{3} - 13 x^{2} - 14 x + 24 \end{matrix}

szorzatok abszolút értéke egyenlő. Ez kétféleképpen teljesülhet: a két szorzat egyenlő, és így a különbségük 0, vagy egymás negatívja, ezért az összegük 0.
Az első esetben, a gyököket 2 tizedesre kerekítve,

\begin{matrix} 4 x^{3} - 28 x = 4 x (x^{2} - 7) = 0, x_{1} = 0, x_{2,3} = \pm \sqrt[]{7} = \pm 2, 65. \end{matrix}

A második esetben

\begin{matrix} 2 x^{4} - 26 x^{2} + 48 = 0, x_{4,5} & = \pm \sqrt[]{6, 5 + \sqrt[]{18, 25}} = \pm 3, 28, \\ x_{6,7} & = \pm \sqrt[]{6, 5 - \sqrt[]{18, 25}} = \pm 1, 49. \end{matrix}

Mivel (1) jobb oldala tényezőről tényezőre úgy áll elő a bal oldalból, hogy

x

helyett

- x

-et írunk ‐ pl. az elsőben

| - x + 1 | = | - (x - 1) | = | x - 1 |

‐, azért, ha már a grafikus megoldás céljára a bal oldalt ábrázoltuk, a jobb oldal grafikonja a bal oldalénak tükörképe az

y

tengelyre.