Feladat: F.1661 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Z. ,  Birkner L. ,  Csetényi A. ,  Divinyi S. ,  Eller J. ,  Gegesy Ferenc ,  Gerhardt T. ,  Horváth Miklós ,  Kálmán M. ,  Kemény A. ,  Kérchy L. ,  Krasznai A. ,  Lázár A. ,  Lengyel J. ,  Lévai G. ,  Lukács P. ,  Papp Z. ,  Pressing L. ,  Prőhle T. ,  Sailer K. ,  Somorjai G. ,  Szalay Csilla ,  Szalontai Á. ,  Tarsó B. ,  Viszkei Gy. ,  Walthier T. 
Füzet: 1969/november, 129 - 132. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/április: F.1661

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A függvénynek csak ott lehet szélső értéke, ahol deriváltja eltűnik:

f'(x)=3x2+p=0,x2=-p3,
vagyis az
x1,2=±-p3
helyeken. Ezek akkor és csak akkor valósak és különbözők, ha
p<0(1)
(p=0 esetén x1=x2, tehát a szélső értékek eleve nem lehetnek különböző előjelűek).
E feltétel teljesülése esetén az
x1=--p3  és  x2=-p3
helyek mindegyikén van is szélső érték, mert f'(x) előjelet vált, x1-en (ami <0) áthaladva pozitívból negatívvá válik, hiszen itt 3x2 csökken, x2-n áthaladva pedig negatívból pozitívvá, így az f(x) függvénynek x1-ben (helyi) maximuma és x2-ben (helyi) minimuma van.
A szélső értékek:
f(x1)=x1(x12+p)+q=--p3(-p3+p)+q=q-2p3-p3,f(x2)=x2(x22+p)+q=-p3(-p3+p)+q=q-2p3-p3


és ezek akkor és csak akkor ellentett előjelűek, ha szorzatuk negatív:
f(x1)f(x2)=q2-4p29(-p3)=q2+4p327=4[(q2)2+(p3)3]<0.(2)

Ez a feltétel magában foglalja (1)-et is, hiszen p0 esetén a bal oldal
q2+4p327q20,
így f(x) szélső értékei akkor és csak akkor ellentett előjelűek, ha a p, q együtthatókra teljesül a (2) feltétel.
Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Akik ismerik az f(x)=0 redukált harmadfokú egyenlet megoldóképletét1, azok (2) szögletes zárójelében felismerik az egyenlet D diszkriminánsát. Ezt a megoldás diszkussziójával egybevetve látjuk, hogy f(x) szélső értékei ellentett előjelű voltának feltétele azonos azzal, hogy az f(x)=0 egyenletnek három különböző valós gyöke legyen. Valóban, a fentebbiek szerint az x1<x<x2 értékekre f'(x)<0, az f(x)-et ábrázoló görbe süllyed, f(x1)>f(x2), így f(x1) és f(x2) ellentétes jelű volta azt jelenti, hogy f(x1)>0 és f(x2)<0, a görbének a maximum előtti, emelkedő szakasza, továbbá az x1 és x2 közti, süllyedő szakasza, végül a minimum utáni, emelkedő szakasza külön-külön metszik az x tengelyt, innen a 3 különböző valós gyök.
A feltételek megfeleltetését folytatva
D=(q2)2+(p3)3=0,  ill.  D=(q2)2+(p3)3>0
azt jelenti, hogy a szélső értékek egyike 0, a görbe itt érinti az x tengelyt, kétszeres gyök van, ill. hogy a két szélső érték egyenlő előjelű (vagy mindkettő pozitív, vagy mindkettő negatív). Az ábra a görbe menetét vázolja x1x2 esetére, D előjele szerint.
 

 

II. megoldás. Az f(x) függvény képét az
f0(x)=x3+px
függvény képéből q-val való eltolással kapjuk az y tengely irányában, emiatt először az egyszerűbb f0(x) függvényt vizsgáljuk. Mivel f0(-x)=-f0(x), azaz a függvény ún. páratlan függvény, elegendő pozitív x-ekre vizsgálnunk. Három esetet különböztetünk meg:
1. Ha p>0, akkor f0 két monoton növekvő függvény összege, tehát f0 is monoton nő, így nincsenek szélső értékei.
2. Ha p=0, akkor f0=x3, ismét monoton növekvő.
3. Ha p<0, mondjuk p=-a2 (ahol a>0), akkor
f0(x)=x(x+a)(x-a),(3)
így f0 a 0<x<a intervallumon negatív, x>a mellett pozitív. x>a mellett mindhárom tényező pozitív és monoton nő, így f0 is nő, ezért szélső érték csak a 0<x<a szakaszon lehet. Ezt a számtani és mértani közép ismert nagyságviszonya alapján akarjuk meghatározni. Alakítsuk (3)-at így:
-αβf0(x)=x(αx+αa)(βa-βx),
ahol α-t és β-t úgy akarjuk meghatározni, hogy a három tényező összege állandó legyen. Ekkor ugyanis a szorzat akkor maximális, ha tényezői egyenlőek. Ha az összegben x együtthatója eltűnik:
1+α-β=0,
akkor az összeg állandó, és a tényezők egyenlőek, ha még
x=αx+αax=βa-βx


is teljesül. Ennek az egyenletrendszernek egy megoldása pl.
α=3-12(>0),β=3+12(>0),x=a3
(és teljesül 0<x<a), tehát f0(x)-nek x=a/3 mellett van minimuma, és itt a függvény értéke
min  f0=f0(a3)=a3(a23-a2)=-233a3=-233(-p)3/2.
Mivel f0 páratlan, ebből a függvény lokális maximuma is előállítható:
max  f0=233(-p)3/2.

Visszatérve az f(x) függvényre, ennek is csak negatív p mellett lesz szélső értéke, és ezek akkor lesznek különböző előjelűek, ha q értéke max  f0 és min  f0 közé esik, azaz
|q|<max  f0=233(-p)3/2,q2<-427p3,(q2)2+(p3)3<0,
ami természetesen csak negatív p-re teljesülhet, ez tehát a szükséges és elegendő feltétele annak, hogy az f(x) függvény szélső értékei különböző előjelűek legyenek.
1Kissé más alakban lásd Hack Frigyes: Függvénytáblázatok, matematikai összefüggések, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 61‐62. o.