Feladat: F.1659 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Zoltán 
Füzet: 1969/november, 127 - 128. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gyökös függvények, Egészrész, törtrész függvények, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/április: F.1659

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A függvény első tagja az x szám egész része, a gyökjel alatt pedig az ún. tört része áll, amire [x]≦x<[x]+1 miatt teljesül:

0≦x-[x]<1.(1)
Eszerint a második tagnak mindig van értelme.
A függvényt f(x)-szel jelölve azt kell belátnunk, hogy véve az x1, x2 helyeket, ahol x1<x2, fennáll f(x1)<f(x2), azaz f(x2)-f(x1)>0.
Ha [x1]=[x2], akkor f(x1) és f(x2) csak a gyökjel alatti számban különböznek, és azokra
x1-[x1]<x2-[x1]=x2-[x2],
így, mivel két nem-negatív szám közül a nagyobbiknak nagyobb a négyzetgyöke, valóban f(x1)<f(x2).
Ha pedig [x2]>[x1], akkor [x2]≧[x1]+1, és mivel a négyzetgyökök mindegyike 0 és 1 közötti szám, az 1 értéket már nem engedve meg, ezért különbségüket csökkentjük, ha a kisebbítendő második tagja helyett 0-t írunk, a kivonandóé helyett pedig 1-et. Így
f(x2)-f(x1)>[x2]-([x1]+1)≧0,
tehátf(x2)-f(x1)>0.
b) A (0,1) balról zárt intervallumon f(x)=x vagyis képe p parabolaív. n-nel egész számot jelölve, az (n,n+1) balról zárt intervallumban, ahol tehát [x]=n,
f(x)-n=x-n,
vagyis a függvény képe p-ből eltolással keletkezik, mindkét tengely irányában n egységgel. (Könnyű belátni továbbá, hogy a szomszédos ívek egymáshoz kapcsolódnak.)
 

 

Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o. t.)