Kezdőlap


Feladat:	F.1658	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angster Judit , Bajmóczy E. , Beck J. , Csaba Zita , Divinyi S. , Donga Gy. , Gegesy Ferenc , Hausmann J. , Kálmán M. , Kemény A. , Lukács P. , Mammel Andrea , Petravich G. , Prőhle T. , Simon Júlia , Somorjai G. , Szabó Zsolt , Szalontai Á. , Tóth L. , Viszkei Gy.
Füzet:	1969/december, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkagúlák, Hossz, kerület, Térelemek és részeik, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: F.1658

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két út közös kezdő- és végpontja $K$ és $V$ , a II. út töréspontjai a hegy délkelet és északkelet felé mutató élén $T$ és $U$ , ezeknek, valamint a hegyet teljes gúlává kiegészítő gúla $C$ csúcsának az alapon levő vetülete rendre $V'$ , $T'$ , $U'$ , $C'$ , a hegy magassága $V' V = m$ , végül a II. út emelkedési szöge $φ$ (1. ábra).

1. ábra

A magasságot az utak méreteivel kétféleképpen kifejezve

\begin{matrix} m = V' V = K V' tg (φ + {16, 7}^{\circ}) = (K T' + T' U' + U' V') tg φ \end{matrix}

(1)

és itt nyilvánvalóan

\begin{matrix} {K V'}^{2} = {(\frac{320 - 135}{2})}^{2} + {(\frac{320 + 135}{2})}^{2} = \frac{1}{2} (320^{2} + 135^{2}) . \end{matrix}

Alább belátjuk, hogy a

K T'

T' U'

U' V'

vetületszakaszok szomszédos páronként merőlegesek egymásra. Eszerint a

C' K T'

C' T' U'

C' U' V'

derékszögű háromszögek hasonlók (2. ábra):

\begin{matrix} \frac{C' T'}{C' K} = \frac{C' U'}{C' T'} = \frac{C' V'}{C' U'} = q, \frac{C' V'}{C' K} = q^{3}, \\ q = \sqrt[3]{\frac{C' V'}{C' K}} = \sqrt[3]{\frac{135}{320}} = \frac{3}{4}, \end{matrix}

hiszen két négyzetben az átlók aránya egyenlő az oldalak arányával.

2. ábra

Így (méterben)

\begin{matrix} C' K = 160 \sqrt[]{2}, C' T' = 120 \sqrt[]{2}, C' U' = 90 \sqrt[]{2}, C' V' = 67, 5 \sqrt[]{2}, \end{matrix}

ezekből

\begin{matrix} K T' = 200 \sqrt[]{2}, T' U' = 150 \sqrt[]{2}, U' V' = 112, 5 \sqrt[]{2}, \end{matrix}

és az (1) jobb oldalán álló zárójel értéke:

A = 462, 5 \sqrt[]{2} .

Legyen még

tg {16, 7}^{\circ} = t (= 0, 3000)

, így (1)-ből

\begin{matrix} K V' \cdot \frac{t + tg φ}{1 - t tg φ} = A tg φ, \\ A t \cdot {tg}^{2} φ - (A - K V') tg φ + K V' \cdot t = 0, \end{matrix}

amiből

tg φ

-re két pozitív érték adódik. Tovább pedig ‐ ismét (1) alapján

\begin{matrix} m_{1,2} = A tg φ = \frac{1}{2 t} {A - K V' \pm \sqrt[]{{(A - K V')}^{2} - 4 A \cdot K V' \cdot t^{2}}}, \end{matrix}

tehát a hegy magassága lehet

m_{1} = 130, 5

, és

m_{2} = 1231

méter, a megfelelő szögek a II. és I. útra

\begin{matrix} {11, 3}^{\circ} és {28, 0}^{\circ}, ill. {62, 0}^{\circ} és {78, 7}^{\circ} . \end{matrix}

Az utóbbi kettő rendkívüli meredekség, valószínűbb a magasság

130, 5

méteres értéke. (A hegyoldalak lejtése még így is

{54, 7}^{\circ}

.)
Visszatérve a felhasznált állításra, nyilvánvaló, hogy a déli lejtő a

C

-n átmenő függőleges egyenes körül

90^{\circ}

-kal elfordítva a keleti lejtő helyére jut. Legyen a

K T

szakasz új helyzete

K_{1} T_{1}

. Ennek emelkedési szöge ugyancsak

φ

, és ekkora szöget zár be a vízszintessel a keleti lejtőnek minden vele párhuzamos egyenese, ami pedig nem párhuzamos vele (és észak felé emelkedik), annak emelkedési szöge

φ

-nél nagyobb vagy kisebb. Így

T' U'

párhuzamos

K_{1} T_{1}

vetületével, ez viszont merőleges

K T'

-re.
A III. útvonal kérdése könnyebb lesz, ha két segédútvonalat tekintünk: felvezetjük az előbbi

K_{1} T_{1}

folytatását,

K_{1} T_{1} U_{1} V_{1} = II'

-t, ami nyilvánvalóan a tetőfennsík délnyugati csúcsára érkezik, másik segédútvonalunk pedig a déli oldal közepéből indul a keleti oldal felé, ugyanakkora emelkedéssel, mint III, vagyis mint II és II'. igy az előzők szerint III' első szakasza a

K K_{1} T

háromszög

K T

-vel párhuzamos középvonala, tehát

K_{1} T

felezőpontjában lesz az első törése, tovább a

K_{1} T_{1} U T

, majd a

T_{1} U_{1} V U

trapéz középvonalán halad, tehát harmadik töréspontja felezi

U_{1} V

-t, végül az

U_{1} V_{1} V

háromszögnek az

U_{1} V_{1}

oldallal párhuzamos középvonalán haladva a

V V_{1}

nyugati oldal felezőpontjába érkezik fel.
Így a kívánt III. útvonal felső végpontja ‐ ismét

90^{\circ}

-os elfordítással ‐ a fennsík déli oldalának felezőpontja.

Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t. )

Simon Júlia (Győr, Kazinczy F. Gimn., III. o. t. )