Feladat:	F.1655	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kálmán Miklós ,  Simon Júlia
Füzet:	1969/november, 123 - 125. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Koordináta-geometria, Nomogramok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: F.1655

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Hosszabbítsuk meg $GG\text{'}$-t és $HH\text{'}$-t az $AC$ egyenessel való $G^{*}$, ill. $H^{*}$ metszéspontig, továbbá húzzunk párhuzamost $AB$-vel $J$-n át és jelöljük ennek $AC$-vel való metszéspontját $J^{*}$-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszögű háromszögpárok alapján rendre ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle M{G}^{*}G\text{'}▵\sim MCD▵\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle M{G}^{*}}\hfill & \hfill {\displaystyle =MC\cdot \frac{G^{*}G\text{'}}{CD}=a{x}_0\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle L{H}^{*}H\text{'}▵\sim L{G}^{*}G▵\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle L{H}^{*}}\hfill & \hfill {\displaystyle =L{G}^{*}\cdot \frac{H^{*}H\text{'}}{G^{*}G}=\left(LM+M{G}^{*}\right)\cdot x_0\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle K{J}^{*}J▵\sim K{H}^{*}H▵\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle K{J}^{*}}\hfill & \hfill {\displaystyle =K{H}^{*}\cdot \frac{J^{*}J}{H^{*}H}=\left(KL+L{H}^{*}\right)\cdot x_0\mathrm{,}}\end{array}}$ ezért, fokozatos behelyettesítéssel ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle EJ=}& {\displaystyle A{J}^{*}=AK+K{J}^{*}=d+\left(c+L{H}^{*}\right)\cdot x_0=d+x_0\left[c+\left(b+M{G}^{*}\right)\cdot x_0\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =d+x_0\left[c+x_0\left(b+a{x}_0\right)\right]=d+c{x}_0+b{x}_0^2+a{x}_0^3=f\left(x_0\right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\end{array}}$ amit bizonyítanunk kellett. Ha az együtthatókat, valamint az $x_0$ értékét ábrázoló $AK$, $KL$, $LM$, $MC$, $AE$ szakaszokat ‐ esetleges negatív előjelük esetén ‐ az eredetivel ellentétes irányban mérjük fel, $0$ együttható esetén pedig a $K$, $L$, $M$, ill. $C$ pontot azonosnak vesszük rendre $A$-val, $K$-val, $L$-lel, ill. $M$-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor ‐ mint hasonlóan belátható ‐ az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinomnak bármely (valós) $x_0$ helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfelelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az eredmény ($EJ$, ill. megfelelője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben $J$ az $AB$ egyenesnek $C$-t nem tartalmazó oldalán adódik, $f\left(x_0\right)<0$. $x_0=1$ esetén ‐ amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló ‐ $E$ a $B$-be esik, $F$, $G\text{'}$, $H\text{'}$ és $J$ pedig $D$-be. $EJ$-ként $BD=a+b+c+d$ adódik. A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, előjelüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani. Ezt egyszerűvé, ill. feleslegessé teszi az alábbi II. megoldás.   Kálmán Miklós (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)   Megjegyzés. Többen megjegyezték, hogy az (1)-beli első alak ‐ jobbról bal felé, egyszersmind a legbelső zárójelből kifelé olvasva ‐ az $f\left(x_0\right)$ kiszámítására ma ,,Horner-módszer'' néven ismert eljárás: váltakozva szorzást és hozzáadást végzünk, a szorzó mindig $x_0$, az első szorzandó $a$, a hozzáadott tag mindig a hatványok csökkenő rendjében következő együttható. W. G. Horner 1786‐1837 élt, ezt Segner élet-adataival egybevetve látjuk, hogy Horner nem az elvet fedezte fel; hanem a számítás részeredményeinek elrendezésére adott olyan ügyes módot, amely bizonyos esetekben mindjárt előkészít egy további számítást. Eszerint a fenti mellett ugyancsak használatos Horner-séma, vagy Horner-elrendezés elnevezés a helyes, a lényeget kifejező.   II. megoldás. Az eljárás helyességét koordináta-geometriai úton bizonyítjuk. Legyenek a derékszögű rendszer tengelyei $AB$ és $AC$, ekkor a felhasznált pontok koordinátái: