Kezdőlap


Feladat:	F.1653	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: F.1653

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenletrendszer szimmetrikus az $x, y$ ismeretlenpárra, ugyanígy a $z, t$ párra is, ezért elég az olyan megoldásokat megkeresni, amelyekben $x \leq y, z \leq t$ ; továbbá a két pár felcserélésével is egymásba megy át a két egyenlet, ezért az $x \leq z$ megszorítást is előírhatjuk.
Keressünk először olyan megoldást, amelyben $x = 1$ . Az egyszerűsödő

\begin{matrix} 1 + y = z t, z + t = y \end{matrix}

(1)

rendszerből

y

kiküszöbölésével, majd továbbalakítással

\begin{matrix} 1 + z + t = z t, & (2) \\ t = \frac{z + 1}{z - 1} = 1 + \frac{2}{z - 1} & (3) \end{matrix}

(oszthattunk

z - 1

-gyel, mert

z = 1

esetére a (2) egyenlet ellentmondó). Eszerint

z > 1

és a

z - 1

természetes szám osztója 2-nek:

\begin{matrix} z - 1 = 1 vagy 2. \end{matrix}

Az első eset megfelel, (3)-ból, majd (1)-ből

\begin{matrix} z = 2, t = 3, y = 5, x = 1. \end{matrix}

Az utóbbi esetben azonban

z = 3

és (3)-ból

t = 2 < z

, ez a megoldás az előzetes megjegyzés alapján kiadódik a találtból.
Olyan megoldást keresve, melyben mindegyik ismeretlen értéke 1-nél nagyobb természetes szám, fennáll

\begin{matrix} x - 1 \geq 1, y - 1 \geq 1, (x - 1) (y - 1) \geq 1, azaz \\ x y \geq x + y; \end{matrix}

ugyanígy

\begin{matrix} z t \geq z + t, \end{matrix}

és egyenleteink figyelembevételével

\begin{matrix} x y \geq x + y = z t \geq z + t = x y . \end{matrix}

Az utolsó kifejezés egyenlő az elsővel, eszerint mindegyik

\geq

jelpárnál az egyenlőség áll, ezért fent is, tehát

\begin{matrix} x - 1 = y - 1 = 1, x = y = 2 és z = t = 2. \end{matrix}

Ezzel a megoldást befejeztük. Az elsőnek talált megoldásból további 7, lényegesen nem (csak sorrendben) különböző megoldást írhatnánk fel.