|
Feladat: |
F.1651 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beck J. , Csetényi A. , Fialovszky Alice , Frankl P. , Füredi A. , Gegesy F. , Gönczi J. , Kóczy L. , Krasznai A. , Maróti P. , Mozsáry G. , Németh Iván , Prőhle T. , Szalontai Á. , Viszkei Gy. |
Füzet: |
1969/november,
115 - 117. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Numerikus és grafikus módszerek, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/február: F.1651 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A leírt szerkesztés körzővel és egyenes vonalzóval elvégezhető, ezért a leírás szerinti 1. ábra bármelyik szakasza és bármelyik szögének bármelyik szögfüggvénye ‐ mint egy legföljebb másodfokú egyenlet gyöke ‐ a négy alapművelettel és négyzetgyökvonással tetszés szerinti pontossággal kiszámítható, miután egy hosszegységet is választottunk. Legyen .
1. ábra Így a probléma az, hogy táblázatunk tizedes jegyre kerekített, vagyis kerekítési hibával terhelt adatai alapján mekkora hibával kereshetjük vissza a kérdéses szögnek vagy valamely kifejezésének egy (,,pontosan'' ismert) szögfüggvényértékét, továbbá hogy a különböző ilyen visszakeresések közül melyikből kapjuk a kérdéses szöget kisebb hibával. Hibán azt a legnagyobb lehetséges eltérést értjük, ami a szög valódi értéke és a táblázatból lineáris interpoláció útján kapott közelítő értéke között adódhat. (Azzal a kérdéssel már nem foglalkozhatunk tehát, mekkora hibát okoz a lineáris interpoláció elve, hogy ti. pl. a függvény grafikonját a táblázat alapján felrajzolt pontok között egyenesszakaszokkal, azaz elsőfokú függvények darabjaival pótoljuk.) II. Legyen vetülete -re a pont, vetülete -re , és a kérdéses szög (az állítás szerint közelítőleg ). Igen könnyű meghatározása. Ugyanis nyilvánvalóan , , és
tizedes alakú közelítő törtjét tizedesre számítottuk ki, ez bőven elegendő (sőt sok is) ahhoz, hogy a második négyzetgyök -ik tizedesjegyét és fenti tizedesjegyét még biztosan megadhassuk; a számítást nem részletezzük. Mármost a táblázat szerint , a kerekítés okozta hiba abszolút értéke nem nagyobb, mint , így a következő korlátok közé zárható: | | fent kiszámított értéke két korlát közé esik, eszerint nagyobb is, kisebb is lehet, mint . A sinus-táblázat szomszédos adatai az és helyeken , ill. , hibájuk ugyancsak legföljebb , így alsó és felső korlátjuk, , , ill. , hasonlóan képezhető. Ezek szerint -et az , intervallumban interpoláló két elsőfokú függvény-darab grafikonja abban a két paralelogrammából álló sávban halad, amelyet a 2. ábra vázol (a jobb áttekintés érdekében torzítva). Bárhol van ugyanis a és pontos értékét ábrázoló pont a , ill. szakaszon, az ezeket összekötő szakasz mindenesetre benne van a négyszögben. (A korlátokat ábrázoló pontokat ‐ a megfelelő abszcisszájú egyenesen ‐ ugyanúgy jelöltük, mint a korlátokat.)
2. ábra Messe a visszakeresendő értéket ábrázoló egyenes a sáv határait az , pontokban. Ekkor a értéket valamely olyan helyen veszi fel a -et interpoláló mondott függvény, mely a grafikon tengelyén az szakasz vetületére, az és abszcisszák közé esik. Így lesz alsó korlátja, pedig a felső korlátja. Mármost az , intervallumban növekedésre az interpoláló függvény növekedése és persze ugyanennyi a növekedés is. Másrészt , ezért a vonalkázott hasonló háromszögpár alapján | | (2) | és hasonlóan az , intervallumból | | ennélfogva
. Amennyiben egyetlen korláttal akarjuk jellemezni, milyen mértékben közelíti a -os szöget, akkor eredményünk: . Megjegyzések. 1. Könnyű belátni, hogy az -ra számítandó hibakorlát csak attól függ, hogy a visszakeresésben a függvényt ábrázoló görbe milyen meredek szakaszát használjuk. Pl. (1) alapján -t kiszámítva | | is számítható, ezt a fentihez hasonlóan visszakeresve kisebb hibakorlátot kapnánk, mert környezetében a függvény grafikonja meredekebb, -re eső növekedése . Csökkenthetnők a hibakorlátot pl. alapján való hasonló visszakereséssel is. Azonban a visszakeresendő érték ,,pontos'' (a táblázat kerekítésénél jóval kisebb hibájú) meghatározása egyre több számolással járna. 2. tizedes jegyre , tehát hiánnyal közelítjük -et, ebben a környezetben -nek -re eső növekedése , és végül . 3. A régebbi, lépéshosszú iskolai táblázatban a adattól szomszédai, és egyaránt -nel térnek el, ezekből és adódik. 4. A fenti második négyzetgyökvonás alapja irracionális szám, azonban tetszés szerinti számú tizedes jegye meghatározható, így ugyanez áll négyzetgyökére is. A kitűzésbeli zárójeles megjegyzés tehát élesíthető volna. Ezzel csak arra kívánta felhívni a szerkesztőség a megoldók figyelmét, hogy és értékét ne a táblázatból vegyék. Ha ezeknek is a kerekített értékét használnók, akkor (1) szerint , a 2. ábra egyenese helyére egy széles sáv lépne, melynek tengelye az egyenes, és (2)-helyére a következő számítás lépne | | és ugyanennyi lenne felső korlátja is. |
|