Kezdőlap


Feladat:	F.1650	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Divinyi Sándor
Füzet:	1969/november, 113 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Körök, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: F.1650

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Jelöljük a háromszög adott helyzetű csúcsait $A$ és $B$ -vel, a belőlük induló súlyvonalakat $s_{a}$ , $s_{b}$ -vel. Ezek aránya $s_{a} : s_{b} = 1 : 2 = q$ . Ezek mértani helyet adnak az $S$ súlypontra, továbbá a harmadik csúcsra, $C$ -re.

Ugyanis

S

harmadoló tulajdonsága folytán az

S A = 2 s_{a} / 3

és

S B = 2 s_{b} / 3

távolságok aránya szintén

q

, így

S

csak az

A

B

alappontokhoz és a

q

aránymutatóhoz tartozó

k_{s}

Apollóniosz-körön lehet.¹ Ennek az

A B

egyenesen levő átmérője az a szakasz, melynek végpontjai az

A B

távolság

A

-hoz közelebbi

D_{1}

harmadolópontja és

B

-nek

A

-ra vonatkozó

D_{2}

tükörképe.
Másrészt

C

‐ a belőle kiinduló súlyvonal révén ‐ mindig az

S

képe abban a centrális hasonlóságban, melynek középpontja az

A B

szakasz

F

felezőpontja, aránymutatója pedig

3

, ezért

C

csak azon a

k_{c}

körön lehet, amely

k_{s}

-nek képe a mondott transzformációban. Ennek középpontja ugyancsak az

A B

egyenesen van, átmérőjének

E_{1}

E_{2}

végpontjaira

F E_{1} = 3 \cdot F D_{1} = A B / 2

, és

F E_{1}

iránya ugyanaz, mint

F D_{1}

iránya, tehát

E_{1}

azonos

A

-val, másrészt

F E_{2} = 3 F D_{2} = 9 A B / 2

, így

k_{c}

-nek

K

középpontjára nézve,

F K = (F E_{1} + F E_{2}) / 2 = 5 A B / 2

, vagyis

K

A

pont tükörképe

D_{2}

-re nézve, és

k_{c}

sugara

(F E_{2} - F E_{1}) / 2 = 2 A B

.
b) Második mértani helyet ad

C

-re a háromszög adott szögének nagysága. Ez

α

β

γ

mindegyike lehet. Az első két esetben

C

mértani helye az

A

(ill.

B

) csúcsú és az

A B

(ill.

B A

) félegyenessel

α

(ill.

β

) szöget bezáró félegyenes és ennek az

A B

tengelyre való tükörképe (az ábrán példaképpen feltüntettünk egy

e_{α}

e'_{α}

és egy ‐ tőle természetesen független ‐

e_{β}

e'_{β}

félegyenespárt). Ha pedig a szög-adat

γ

, akkor

C

mértani helye az

A B

szakasz

γ

nyílású látöszögkörívpárja,

i_{γ}

i'_{γ}

.
A

C

csúcs megfelelő helyzeteit a feladat mindhárom változatában az utóbbi mértani helynek

k_{c}

-vel közös pontjai adják. A szerkesztések helyessége nyilvánvaló.
A megoldások száma:

I. adott

α > 90^{\circ}

esetén

2

α ≦ 90^{\circ}

esetén

0

;

II. adott

γ < 90^{\circ}

esetén 2,

γ ≧ 90^{\circ}

esetén

0

(az ábra

i_{γ}

i'_{γ}

-je esetén nincs megoldás),

\begin{matrix} III. adott & β < K B C^{*} ∢ = 41^{\circ} 48' esetén 4, \\ β = 41^{\circ} 48' esetén 2, \\ β > 41^{\circ} 48' esetén 0, \end{matrix}

a határszög,

e_{β}

és

k_{c}

érintkezése esetére, a

K B C^{*}

derékszögű háromszögből adódott, a fentiek szerint

sin K B C^{*} ∢ = 2 / 3

Divinyi Sándor (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)

¹Lásd legutóbb az 1192. gyakorlatban, K. M. L. 39 (1969) 17. o.