Kezdőlap


Feladat:	F.1648	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kurucz Erzsébet
Füzet:	1969/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: F.1648

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x$ , $2 x$ , $3 x$ , $4 x$ számok egyike sem lehet egyenlő $π / 2$ -nek valamely páratlan többszörösével, különben (1) bal oldala nincs értelmezve. Felismerjük másrészt, hogy minden egész $k$ esetén $x = k π$ kielégíti az egyenletet, ezt a további gyökök keresésében kizárjuk. Minden $x_{0}$ gyökkel együtt $x_{0} + k π$ , valamint $- x_{0}$ és $- x_{0} + k π$ is gyök, elég tehát a nyitott $(0, π / 2)$ intervallumra szorítkoznunk.
(1) szélső, valamint közbülső tagjait egy-egy párba kapcsolva

\begin{matrix} tg x & + tg 4 x = \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin 4 x}{cos 4 x} = \frac{sin (x + 4 x)}{cos x cos 4 x}, \\ tg 2 x & + tg 3 x = \frac{sin 5 x}{cos 2 x cos 3 x}, \end{matrix}

ezeket (1)-be beírva, majd a

2 cos u

cos v = cos (u + v) + cos (u - v)

azonosságot alkalmazva

\begin{matrix} sin 5 x (\frac{1}{cos x cos 4 x} + \frac{1}{cos 2 x cos 3 x}) = \\ = \frac{sin 5 x (2 cos 5 x + cos 3 x + cos x)}{2 cos x cos 4 x cos 2 x cos 3 x} = 0, \end{matrix}

ami akkor teljesül, ha

\begin{matrix} sin 5 x = 0, és ha \\ 2 cos 5 x + cos 3 x + cos x = 0. & (2) \end{matrix}

Az első egyenlet megoldása a kijelölt intervallumban

\begin{matrix} 5 x = k π, x = k \frac{π}{5}, k = 1,2. \end{matrix}

Jelöljük (2) bal oldalát

y

-nal. Ezt a

2 sin u

cos v = sin (u + v) - sin (v - u)

és más ismert azonosságok alapján így alakítjuk:

\begin{matrix} y & = \frac{2 y sin x}{2 sin x} = \frac{1}{2 sin x} {2 (sin 6 x - sin 4 x) + (sin 4 x - sin 2 x) + sin 2 x} = \\ = \frac{2 sin 6 x - sin 4 x}{2 sin x} = \frac{2 sin (4 x + 2 x) - sin 4 x}{2 sin x} = \\ = \frac{2 cos 4 x sin 2 x - sin 4 x (1 - 2 cos 2 x)}{2 sin x} = \\ = \frac{sin 2 x}{sin x} {cos 4 x - cos 2 x (1 - 2 cos 2 x)} = \\ = 2 cos x (4 cos^{2} 2 x - cos 2 x - 1) . \end{matrix}

Eszerint a fentiek figyelembevételével további gyököt csak a

\begin{matrix} 4 cos^{2} 2 x - cos 2 x - 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet ad. Innen fok egységekben a

(0, π)

intervallumban

\begin{matrix} \begin{matrix} cos 2 x = \frac{1 + \sqrt[]{17}}{8} = 0, 6404 és cos & 2 x = \frac{1 - \sqrt[]{17}}{8} = - 0, 3904, \\ 2 x = 50^{\circ} 11', & 2 x = 112^{\circ} 59' . \end{matrix} \end{matrix}

Végül a talált gyököket összegyűjtve, (1)-et a

0^{\circ}

180^{\circ}

intervallumban a következő értékek elégítik ki:

\begin{matrix} x_{1} = 0^{\circ}; x_{2} = 36^{\circ}, x_{3} = 72^{\circ}, x_{4} = 108^{\circ}, x_{5} = 144^{\circ}; \\ x_{6} = 25^{\circ} 5', x_{7} = 154^{\circ} 55', x_{8} = 56^{\circ} 29', x_{9} = 123^{\circ} 31' . \end{matrix}

Kurucz Erzsébet (Polgár, József A. Gimn., III. o. t. )