|
Feladat: |
F.1646 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágoston P. , Baintner L. , Bajmóczy E. , Beck J. , Donga Gy. , Fialovszky Alice , Fischer Á. , Győry Gy. , Hadik R. , Horváth L. , Kemény A. , Kóczy L. , László I. , Lázár A. , Lukács P. , Maróti Péter , Martoni V. , Mihálffy P. , Mozsáry G. , Nagy D. , Papp Z. , Prőhle T. , Schván P. , Somorjai G. , Tarsó B. , Terjéki J. , Várhegyi Éva |
Füzet: |
1970/november,
109 - 113. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Ábrázoló geometria, Háromszögek hasonlósága, Tengely körüli forgatás, Trigonometriai azonosságok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Tetraéderek, Szögfüggvények a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/január: F.1646 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen egy, az előírásoknak megfelelő gúla úgy, hogy az alaplapon , , és ezekhez igazodva az oldalélek , (az 1. ábrán távlati rajzban, a 2. ábrán két vetületben úgy, hogy a II. képsík merőleges -re; -t az , lapok leforgatott , helyzetéből szerkesztettük: és . 1. ábra
2. ábra Az 1. ábrán jól látjuk, hogy az egyenlő hosszú élek hármasával egymás után csatlakoznak és nyitott törött vonalat alkotnak, az egységnyiek -t, a hosszúságúak -t. Mind a négy lapháromszög egyenlő szárú és páronként egybevágók, -ben és -ban a szárak hossza , az alapé , ezért , -ban és -ben a két szár , az alap , ezért (a lapok leírásában a testre kívülről ránézve pozitív körüljárás szerint haladtunk). Csak azokat a gúlákat tekintjük, amelyekben , mert minden ilyet -szeresére nagyítva () ismét a vizsgált osztályba tartozó gúlát kapunk, db egységnyi, ill. hosszúságú éllel, és élének kölcsönös helyzete is az előírás szerinti. Valóban, a nagyítás középpontjának -t véve , , rendre , , , felel meg , , , -nek (tükörkép !), és a fenti két jellemző törött vonal -ben (-élek), ill. -ben (-élek) adódik. Eszerint keresett alsó korlátjának reciproka megadja felső korlátját. Forgassuk bele az háromszöget oldala körül az háromszög síkjába úgy, hogy új helyzetében -nek ugyanazon az oldalán legyen, mint , és jelöljük ezt az új helyzetet -gal. Az , háromszögek egybevágók, mert megfelelő oldalaik egyenlők (-nak felel meg). Mivel oldaluk közös, e két háromszög szimmetrikusan helyezkedik el az oldal felező merőlegesére nézve, és . Forgatás közben a pont az -re merőleges síkban mozog, így merőleges az -vel párhuzamos -ra, vagyis a háromszögben -nál derékszög van, ezért . Helyezzünk az szakaszra egy szabályos ötszöget ‐ melynek tehát átlója ‐ úgy, hogy az egyenesnek ugyanazon az oldalán legyen, mint . A , pontok a körüli, egységnyi sugarú körön vannak, pontosabban annak kisebbik ívén, ahol a és metszéspontja. Megmutatjuk, hogy a íven van. Láttuk, hogy -nek -től mért távolsága, a szakasz fele kisebb, mint az -tól mért távolságának a fele. -nak -től mért távolsága viszont éppen feleakkora, mint az -tól mért távolsága, és a kör ívének pontjai -től távolabb vannak, mint , -hoz viszont -nál közelebb vannak. tehát nem lehet a íven. Emiatt , vagyis ahol az egységnyi átlójú szabályos ötszög oldala. értéke a következő módon határozható meg. Legyen a , átlók metszéspontja (3. ábra, mellé index teendő). 3. ábra Az , háromszögek hasonlósága alapján , azaz
(hiszen az egyenlet másik gyöke negatív). Ezek szerint a esetben a vizsgált gúla létezésének szükséges feltétele Megmutatjuk, hogy ez a feltétel elégséges is. Ha ugyanis egy tetszőleges valós szám, amelyre (1) teljesül, legyen az háromszögben , ( miatt (1)-ből következik, hogy ilyen háromszög létezik), és legyen a tükörképe az szakasz felező merőlegesére nézve. Tükrözzük -ot az egyenesre, kapjuk -ot. Az háromszög is egyenlő szárú (), ezért felező merőlegese átmegy -n. Ennek a felező merőlegesnek ugyanazon az oldalán van, mint , tehát , és mivel , azért . Ha tehát a pontot körül a helyzetbe forgatjuk át, a -től mért távolsága valamelyik közbülső helyzetben -vel lesz egyenlő. Jelöljük ezt a közbülső helyzetet -vel, ekkor a kívánt tulajdonságú tetraéder, hiszen , és . A 2. bekezdés végén mondottak alapján a kérdéses gúla létezésének szükséges és elégséges feltétele most már: II. megoldás. A fenti jelöléseket használva továbbra is a esetet tekintjük. Legyen a szárral szemben fekvő szög az egységnyi szárú lapháromszögben , a szárúban , így alapján , és , így -ben a három él közti szögek legkisebbike a (4. és 1. ábra). 4. ábra Felhasználjuk, hogy triéder két oldalának (más szóval élszögének) összege nagyobb a harmadiknál. Eszerint a csúcsú triéderben fennáll
és mivel a cosinusfüggvény a (, ) intervallumban monoton csökken:
Innen alapján | | a tényezők ellentett előjelűek, és alapján az első negatív, tehát a második pozitív, és ebből | | Tovább az I. megoldás szerint haladhatunk. Megjegyzés. A felhasznált segédtétel bizonyításában elég a legnagyobb oldalról belátni, hogy kisebb a másik kettő összegénél. 5. ábra Legyen (5. ábra), vágjuk fel az élt és forgassuk rá az lapot körül -re, legyen új helyzete (a szögtartományban, vagy az félegyenesen) . Messe egy, az -en átmenő egyenes -et -ben, -t -ben. Így | | hiszen . Mivel végül az és háromszögek -ből induló oldalai páronként egyenlők, azért ami egyértelmű állításunkkal. (Ha az élre esik, állításunk nyilvánvaló.) |
|