|
Feladat: |
F.1643 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajmóczy E. , Balogh Z. , Barbarits A. , Beck J. , Csetényi A. , Czibolya L. , Eller J. , Fazekas G. , Fialovszky Alice , Frankl P. , Galántai A. , Gegesy F. , Gerhardt T. , Hadik R. , Kálmán M. , Karvaly G. , Kóczy L. , Komjáth P. , László I. , Maróti P. , Müller Zója , Nagy D. , Papp Zoltán , Sailer K. , Somorjai G. , Szabó P. , Szőnyi Á. , Terjéki J. , Viszeki Gy. , Walthier T. , Zambó Péter |
Füzet: |
1970/január,
6 - 9. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számelrendezések, Fizikai jellegű feladatok, Számtani sorozat, Síkidomok súlypontja, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/január: F.1643 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Síkbeli pontrendszer súlypontja (tömegközéppontja) ‐ mint a fizikából ismeretes ‐ az a pont, amelybe a rendszer össztömegével egyenlő (szokásos jelöléssel ) tömeget gondolva, ennek bármely (forgási) tengelyre számított nyomatéka egyenlő a rendszer egyes tömegei nyomatékának összegével. A nyomatékot a tömeg és a tengelytől mért (előjellel együtt értett) távolság (kar) szorzata adja. A tömegközéppont helyzetét két különböző irányú tengelytől mért távolságával határozhatjuk meg (a tengelyeket természetesen a síkban véve). A koordinátatengelyeket úgy célszerű választani, hogy minden mező középpontjának a távolsága a legközelebbi pont távolságának többszöröse legyen. I. Helyezzük a sakktáblát a szokásos derékszögű koordinátarendszerbe és válasszuk ennek hosszúságegységét úgy, hogy az . sor és . oszlop közös mezeje középpontjának koordinátái legyenek, a . sor és . oszlop közös mezeje középpontjáé pedig . Ekkor ‐ a sakkban szokásosan alulról fölfelé számozott ‐ -edik sor és balról jobbfelé -edik oszlop közös mezeje középpontjának koordinátái nyilvánvalóan , az ide tett anyagi pont tömege az első tömegpontrendszer esetében . Így minden egyes anyagi pontnak az , tengelyre vonatkoztatott karját megadja az ordinátája, ill. abszcisszája, másrészt a pontrendszer nyilvánvaló szimmetriája miatt a tömegközéppont két koordinátája egyenlő, elég abszcisszáját meghatároznunk.
1. ábra A tömegek összege céljára tekintsük az egyes oszlopokbeli tömegek összegét. Mértékszámaik minden oszlopban fölfelé növekvő, differenciájú számtani sorozatot alkotnak. Az első oszlopban A 2. oszlop tagjai rendre az 1-gyel nagyobb számok, hiszen a középpontú mező száma alakban írható, tehát , ugyanígy , az oszlopösszegek szintén számtani sorozatot alkotnak. Az utolsó oszlop összege | | vagy kellő alakítással: | | így tehát, mint az összeg összege | |
A pontrendszernek az tengelyre vett nyomatékában minden egyes oszlop tömegeinek karja (abszcisszája) közös és egyenlő az oszlop sorszámával, így a fentiek alapján | | | | | | (Ebben ‐ a fizikában szokásos ‐ jelölésben a sorszám valamilyen sorrendben végigfut a sakktábla mezőin.) A második zárójelbeli kifejezés így alakítható | | | | | | így | |
Ezzel az -re vonatkozó egyenlet és megoldása | | (A tömegközéppont semmilyen esetén sem esik a tábla egy mezejének középpontjába, mert nem lehet egész, hiszen az -hez is, -hez is relatív prím.) II. A második pontrendszer esetében hasonlóan járunk el. Az első oszlopban álló tömegek összege változatlanul , a 2. oszlopbelieké , hiszen tagról tagra az 1. oszlopbeli szám 2-szeresét írtuk be, hasonlóan a -edik oszlop tömeg-összege , tehát | |
2. ábra Oszloponként ismét közös az -tengelytől mért távolság, így | | | | és ezek alapján az tömegközéppont koordinátái:
Papp Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.) |
Megjegyzések. 1. Első látásra kézenfekvőbb a sakktábla bal alsó sarkát választani a koordinátarendszer origójává. Úgy bonyolultabb számítás eredményeként nyilvánvalóan -del kisebbnek kaptuk volna a koordinátákat: | |
2. A összeg egyszerűen képezhető az átlók bármelyikével párhuzamosan való csoportosítással is.
|
|