Kezdőlap


Feladat:	F.1641	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/október, 52 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók négyzetösszege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: F.1641

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bármely természetes szám osztóinak összegét könnyen felírhatjuk az 1205. gyakorlat^{$^{*}$} megoldásában látott csoportosítás mintájára, a szám prímfelbontása alapján. Pl. a $p^{a}$ és $p^{α} g^{β} r^{γ}$ (ahol $p$ , $q$ , $r$ különböző prímek) osztóinak összege (magát a számot is és 1-et is beleértve):

\begin{matrix} 1 + p + p^{2} + p^{3} + ... + p^{α}, ill \\ (1 + p + p^{2} + ... + p^{α}) (1 + q + q^{2} + ... + q^{β}) (1 + r + r^{2} + ... + r^{γ}) . \end{matrix}

Hasonlóan az osztók négyzetének összege

\begin{matrix} 1 + p^{2} + p^{4} + ... + p^{2 x}, ill. & (1) \\ (1 + p^{2} + p^{4} + ... + p^{2 α}) (1 + q^{2} + q^{4} + ... + g^{2 β}) (1 + r^{2} + r^{4} + ... + r^{2 γ}) . & (2) \end{matrix}

Eszerint a megadott összegértékekhez vagy egyetlen

p

α

számpárt kell meghatároznunk, melyre (1) az adott számmal egyenlő, vagy több ilyet, melyben

p, q, ...

különbözők, és a megfelelő, (1) alakú kifejezések szorzata egyenlő az adott számmal.
Az

a

b

c

) összegek egyikéhez sem tartozik

p^{α}

alakú (egyetlen törzsszám hatványa) eredeti szám, ugyanis (1) első tagját elhagyva a maradék osztható

p^{2}

-nel, esetünkben viszont az 1 csökkentéssel adódó számok egyike sem osztható törzsszám négyzetével, mert prímfelbontásuk:

\begin{matrix} 849 = 3 \cdot 283, 1299 = 3 \cdot 433, 7734 = 2 \cdot 3 \cdot 1289. \end{matrix}

Így összegeinket legalább két (1) alakú összeg szorzatára kell felbontanunk.
Az összegek prímfelbontása rendre:

\begin{matrix} 850 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 17, 1300 = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 13, 7735 = 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17, \end{matrix}

így (1) alakú tényezőként szóba jövő valódi osztóik az 1106. gyakorlat ^{$^{*}$} eljárásához hasonlóan rendre

\begin{matrix} 5, & 10, & 17, & 25, & 34, & 50, & 85, & 170; \\ 5, & 10, & 13, & 20, & 25, & 26, & 50, & 52, & 65, & 100, & 130, & 260; \\ 5, & 7, & 13, & 17, & 35, & 65, & 85, & 91, & 119, & 221, & 455, & 595, & 1105, & 1547 \end{matrix}

(nem írtuk fel az 5-nél kisebb valódi osztókat, mert a legkisebb (1) alakú szám

1 + 2^{2} = 5

; és fordítva, emiatt az előírt összeg értékek 5-ödrészénél nagyobb osztókat is elhagyhattuk).
Célszerű lesz fordítva eljárni, a kisebb

p

és

α

értékekhez kiszámítani (1)-et, majd a belőlük képezhető szorzatok között keresni az adott összeg-értékeket. Ilyeneket tartalmaz táblázatunk, megjegyezve, hogy mivel egyik összegünk sem többszöröse 3-nak, a 3-mal osztható (1) alakú számok helyére vonalat írtunk, másrészt hogy az értékek rohamosan növekszenek.

\begin{matrix} \begin{matrix} p = & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 ... \\ α = 1 & 5 & 10 & 26 & 50 & 122 & 170 \\ α = 2 & - & 91 & - & - & - \\ α = 3 & 85 & 820 \\ α = 4 & 11 \cdot 31 \end{matrix} \end{matrix}

Mármost könnyű látni, hogy mindegyik összeg-értékünk előállítható a táblázat két különböző oszlopából vett, (1) alakú szám szorzataként, sőt az első kétféleképpen is:

\begin{matrix} 850 = 85 \cdot 10 = 5 \cdot 170, 1300 = 26 \cdot 50, 7735 = 85 \cdot 91, \end{matrix}

továbbá, mivel az 1300 előállításában használt 50-es tényező a táblázat más két oszlopából vett szám szorzataként is megkapható:

5 \cdot 10

, azért a táblázat három különböző oszlopából vett szám szorzataként:

\begin{matrix} 1300 = 5 \cdot 10 \cdot 26. \end{matrix}

Ezek szerint 850-es osztó-négyzetösszeget a

2^{3} \cdot 3 = 24

és

2 \cdot 13 = 26

számok adnak,
1300-at az

5 \cdot 7 = 35

és a

2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

számok, végül
7735-öt a

2^{3} \cdot 3^{2} = 72

szám.

^{$^{*}$}1 K. M. L. 37 (1968) 218. o.

^{$^{*}$}2 K. M. L. 35 (1967) 151. o.