Kezdőlap


Feladat:	F.1640	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston P. , Donga Gy. , Dörfner P. , Frankl P. , Füredi A. , Gál P. , Hegedűs Pál , Kaján L. , Kálmán M. , Kemény András , Kóczy L. , Lázár A. , Lukács P. , Nagy Dénes , Nikodémusz Anna , Prőhle T. , Reviczky J. , Romhányi Éva , Simon Júlia , Szabó Péter , Szalontai Á. , Turi A. , Walthier T. , Waszlavik L.
Füzet:	1969/november, 110 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Partíciós problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: F.1640

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} a + b + c = k, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} 0 < a < b < c, \end{matrix}

(2)

illetőleg

\begin{matrix} 0 < a ≦ b ≦ c \end{matrix}

(3)

feltételeket teljesítő egész számok egy háromszög oldalai, ha legnagyobbikuk kisebb, mint a másik kettő összege:

\begin{matrix} c < a + b (azaz c - b < a), \end{matrix}

(4)

ugyanis a háromszög-egyenlőtlenségek további alakjai (2), ill. (3) miatt teljesülnek.
I. A (2) feltétel esetében (4) alapján

\begin{matrix} a ≧ c - b + 1 ≧ 2, \end{matrix}

hiszen

\begin{matrix} c - b ≧ 1. \end{matrix}

(2a)

Mármost

a = 2

csak

c - b = 1

esetén lehetséges, amikor

c + b

és vele a kerület

(c + b) + 2

mértékszáma is páratlan. Ekkor,

k = 2 m + 1

jelöléssel a

c - b = 1

c + b = k - a = 2 m - 1

rendszerből egyértelműen

\begin{matrix} a = 2, b = m - 1, c = m, \end{matrix}

(5)

és ez megfelel, hacsak

b > a

m - 1 > 2

m > 3

, azaz

k ≧ 9

esetén. Eszerint

\begin{matrix} a_{min} = 2, ha k = 9, 11, 13, ... \end{matrix}

Páros

k

esetén viszont

a

és

(c + b)

, tehát

a

és

(c - b)

is egyező párosságú, így (2a) miatt

\begin{matrix} a ≧ (c - b) + 2 ≧ 3, \end{matrix}

és mihelyt

k = 2 m ≧ 12

, az előbbihöz hasonlóan adódó

\begin{matrix} a = 3, b = m - 2, c = m - 1, \end{matrix}

(6)

oldalhármas meg is felel, tehát

\begin{matrix} a_{min} = 3, ha k = 12, 14, 16, ... \end{matrix}

Az (5), (6) oldalhármasokban egyszersmind

c

legnagyobb értékét is megkaptuk, hiszen (4) miatt

c < k / 2

, és a

k / 2

-nél kisebb egész számok közül valóban

k = 2 m + 1

esetén

m

a legnagyobb,

k = 2 m

esetén pedig

m - 1

.
Az

x

számban foglalt legnagyobb egész szám

[x]

jelének felhasználásával

c_{max}

kapott kétféle kifejezése közös alakban adható meg:

\begin{matrix} \frac{k}{2} - \frac{1}{2}, ill. \frac{k}{2} - 1, mindenképpen c_{max} = [\frac{k - 1}{2}] . \end{matrix}

Megkaptuk továbbá (5)-ben és (6)-ban a

b_{max}

értéket is, mert bennük

a

-ra a lehető legkisebb részt használtuk fel

k

-ból, így a lehető legnagyobb rész maradt

(b + c)

-re és ezen belül

b

a legkisebb hiánnyal marad alatta

c

-nek:

\begin{matrix} b_{max} = c_{max} - 1 = [\frac{k - 3}{2}] . \end{matrix}

a_{min}

-nak hasonló, egységes kifejezése

\begin{matrix} a_{min} = 3 - (k - 2 [\frac{k}{2}]), \end{matrix}

hiszen itt a

()

értéke páros

k

esetén

0

, páratlan

k

esetén

1

.
Hasonlóan ugyanazon oldalhármasban lép fel

a_{max}

és

c_{min}

. Ugyanis

a

-ra. úgy jut legnagyobb rész

k

-ból, ha

b

és

c

a megengedhető legkisebb többlettel múlják felül

a

-t; másrészt

c

akkora legkisebb, ha

b

és

a

csak a legkisebb hiánnyal maradnak alatta. (2) miatt

\begin{matrix} b ≧ a + 1, c ≧ b + 1 ≧ a + 2, illetőleg \\ b ≧ c - 1, a ≦ b - 1 ≦ c - 2, így \\ k ≧ 3 a + 3, illetőleg k ≦ 3 c - 3, \\ a ≦ \frac{k - 3}{3}, illetőleg c ≧ \frac{k + 3}{3}, & (7) \\ a_{max} = [\frac{k - 3}{3}], és c_{min} = [\frac{k + 3}{3} + \frac{2}{3}] = [\frac{k + 5}{3}], \end{matrix}

ugyanis (7) jobb oldala

k = 3 r

3 r + 1

3 r + 2

esetén rendre

r + 1

r + 4 / 3

r + 5 / 3

, az ezeknél nem kisebb egészek legkisebbike rendre

r + 1

r + 2

r + 2

, legnagyobb növekedésként

2 / 3

mutatkozik a

k = 3 r + 1

esetben, ennyivel növeltük a

[]

-be írandó számot.
A

k : 3

osztás

3

-féle lehetséges maradéka szerint a megfelelő oldalhármas

\begin{matrix} k = 3 r, k = 3 r + 1, k = 3 r + 2 \end{matrix}

esetén rendre a következő:

\begin{matrix} r - 1, r, r + 1; r - 1, r, r + 2, r - 1, r + 1, r + 2, \end{matrix}

hacsak

\begin{matrix} r > 2, & r > 3, & r > 2. \\ k = 9, 12, 15, ... & k = 13, 16, ... & k = 11, 14, ... \end{matrix}

Végül

b_{min}

úgy adódik, ha egyrészt

a + b

a legkisebb ‐ vagyis

c

a legnagyobb ‐, másrészt az

{(a + b)}_{min}

értéken belül

a

a legnagyobb,

a^{*}

értékét veszi fel. Mint láttuk,

k

párossága szerint

c_{max}

1

-gyel vagy

2

-vel marad alatta az

{(a + b)}_{min}

értéknek, ugyanígy

a^{*}

1

-gyel vagy

2

-vel kisebb, mint

b_{min}

{(a + b)}_{min}

érték párossága szerint, vagyis

\begin{matrix} c_{max} ≧ {(a + b)}_{min} - 2, a^{*} ≧ b_{min} - 2, így & (8) \\ k = {(a + b)}_{min} + c_{max} ≧ 2 {(a + b)}_{min} - 2 = 2 (a^{*} + b_{min}) - 2 ≧ 4 b_{min} - 6, \\ b_{min} ≦ \frac{k + 6}{4}, b_{min} = [\frac{k + 6}{4}] . \end{matrix}

k : 4

osztás

4

-féle maradéka szerint a megfelelő oldalhármas:

\begin{matrix} k = 4 s esetén: & s, & s + 1, & 2 s - 1, & hacsak s>2, k≧12,k=4s+1 esetén: s,s+1,2s, hacsak s>1, k≧9,k=4s+2 esetén: s, s+2, 2s, hacsak s>2, k≧14,k=4s+3 esetén: s, s+2, 2s+1, hacsak & s > 1, & k ≧ 11. \end{matrix}

Összefoglalva, a (2) feltétel esetén

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 - (k - 2 [\frac{k}{2}]) ≦ a ≦ [\frac{k - 3}{3}], \\ [\frac{k + 6}{4}] ≦ b ≦ [\frac{k - 3}{2}], \\ [\frac{k + 5}{3}] ≦ c ≦ [\frac{k - 1}{2}], \end{matrix}} ha k = 9, k ≧ 11. \end{matrix}

k = 9, 11, 12

és

14

esetén egyetlen megoldás van, ezekben az egyes oldalak legkisebb és legnagyobb értéke egyenlőnek adódik.
II. Lényegében ugyanígy kapjuk a keresett értékeket a (3) feltétel esetében is. (2a) helyére

\begin{matrix} c - b ≧ 0 \end{matrix}

(3a)

lép, így (4)-ből

a ≧ 1

. Az

a_{min} = 1

érték a

k = 2 m + 1 (≧ 3)

esetben adódik ismét a

b_{max} = c_{max} = m

értékekkel egy háromszögben,

k = 2 m (≧ 6)

esetén pedig

a_{min} = 2

b_{max} = c_{max} = m - 1

; közös kifejezéssel

\begin{matrix} a_{min} = 2 - (k - 2 [\frac{k}{2}]), c_{max} = b_{max} = [\frac{k - 1}{2}] . \end{matrix}

Továbbá (3) miatt

\begin{matrix} k & ≧ 3 a, & k & ≦ 3 c, \\ a_{max} & = [\frac{k}{3}], & c_{min} & = [\frac{k + 2}{3}], \end{matrix}

végül mivel (8) második egyenlőtlensége helyére

a^{*} ≧ b_{min} - 1

lép, hiszen

b_{min} - a^{*}

értéke

0

vagy

1

, azért a fentihez hasonlóan

\begin{matrix} k ≧ 2 a^{*} + 2 b_{min} - 2 ≧ 4 b_{min} - 4, \\ b_{min} ≦ \frac{k + 4}{4}, b_{min} = [\frac{k + 4}{4}] . \end{matrix}

A talált értékek valóságos fellépését bizonyító oldalhármasok:

\begin{matrix} k & 2 m + 1 & 2 m & 3 r & 3 r + 1 & 3 r + 2 & 4 s & 4 s + 1 & 4 s + 2 & 4 s + 3 \\ a & 1 & 2 & r & r & r & s & s & s + 1 & s + 1 \\ b & m & m - 1 & r & r & r + 1 & s + 1 & s + 1 & s + 1 & s + 1 \\ c & m & m - 1 & r & r + 1 & r + 1 & 2 s - 1 & 2 s & 2 s & 2 s + 1 \\ k ≧ 3 & k ≧ 6 & k ≧ 3 & k ≧ 7 & k ≧ 5 & k ≧ 8 & k ≧ 5 & k ≧ 6 & k ≧ 3 \end{matrix}

Összefoglalva, a (3) feltétel esetén

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 - (k - 2 [\frac{k}{2}]) ≦ a ≦ [\frac{k}{3}] \\ [\frac{k + 4}{4}] ≦ b ≦ [\frac{k - 1}{2}] \\ [\frac{k + 2}{3}] ≦ c ≦ [\frac{k - 1}{2}] \end{matrix}} ha k = 3, k ≧ 5. \end{matrix}

Kemény András (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Romhányi Éva (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)