Kezdőlap


Feladat:	F.1639	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/március, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: F.1639

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A téglatest egy csúcsába összefutó élek hosszát rendre $a$ , $b$ , $c$ -vel jelölve az adatok szerint

\begin{matrix} a + b + c = p, \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = q^{2} . \end{matrix}

Ez a két adat az élek hosszainak kiszámítására nem elegendő. A test

F

felszíne ennek ellenére kiszámítható, ugyanis

\begin{matrix} F = 2 (a b + a c + b c) = {(a + b + c)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = p^{2} - q^{2} . \end{matrix}

II. A térfogat

V = a b c

, és ez nem számítható ki az adatokból. Elég erre egy ellenpéldát megadni.

p = 15

q = 9

esetén még egész számokban is két megoldás adható az élhármasra:

\begin{matrix} a_{1} = 4, b_{1} = 4, c_{1} = 7; a_{2} = 3, b_{2} = 6, c_{2} = 6, \end{matrix}

és ezekből

V_{1} = 112

, ill.

V_{2} = 108