Kezdőlap


Feladat:	F.1638	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baintner L. , Büttner Gy. , Csetényi A. , Donga Gy. , Fal I. , Fazekas B. , Fialovszky Alice , Forrás L. , Frankl P. , Gegesy F. , Gutori L. , Karvaly G. , Katona Zsuzsanna , Kiss Cs. , Komjáth P. , Környei M. , László I. , Láz J. , Lázár A. , Martoni V. , Nagy D. , Papp Z. , Petravich G. , Sailer K. , Simon Júlia , Somorjai G. , Szalontai Á. , Turi A. , Viszkei Gy. , Zambó Péter
Füzet:	1969/november, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Beírt kör, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: F.1638

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kérdéses háromszög $A B C$ , az egyenlő részekre osztott súlyvonal $A D$ . Válasszuk az $A D$ szakasz hosszának harmadrészét hosszúságegységnek.

Így a háromszögbe írt

k

kör az

A D

szakasz közepén levő, egységnyi hosszúságú

G S

szakasz végpontjain megy át, ahol

S

a háromszög súlypontja. Legyen a

B

C

csúcsok közül

B

A D

egyenesnek

k

középpontját tartalmazó oldalán, és legyen

A B = x

; jelöljük továbbá a

B C

C A

A B

oldalon levő érintési pontot rendre

K

L

M

betűvel. Ekkor a körhöz húzott szelőkre vonatkozó tétel alapján

\begin{matrix} A M = D K = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A B D

háromszög egyenlő szárú, a cosinustétel szerint

\begin{matrix} x^{2} = 9 + x^{2} - 6 x cos δ \end{matrix}

ahol

δ = A D B ∢

. Az

A C D

háromszögben

A C = A L + L C = A M + C K

, ezért

\begin{matrix} {(x + 2 \sqrt[]{2})}^{2} = 9 + x^{2} + 6 x cos δ . \end{matrix}

E két egyenletet összeadva

x = \frac{5 \sqrt[]{2}}{4}

, továbbá pl. az első egyenletből

\begin{matrix} x cos δ = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Így a

B S D

és

C S D

háromszögekből ismét a cosinustétel alkalmazásával

\begin{matrix} B S^{2} & = 1 + x^{2} - 2 x cos δ = \frac{9}{8}, & B S = 3 \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{4}; \\ C S^{2} & = 1 + x^{2} + 2 x cos δ = \frac{57}{8}, & C S = \frac{\sqrt[]{114}}{4} . \end{matrix}

Jelöljük az

A B

A C

oldalak felezőpontját

F

és

E

-vel, a

k

kör és a

B E

C F

súlyvonalak

S

-től különböző metszéspontját

H

és

J

-vel.

H

B S

szakaszon,

J

S F

szakaszon van, mert az

A B K G

négyszög tartalmazza a kör

M

-et tartalmazó

K G

ívét, s így

S B

S F

metszi ezt az ívet.
A

B S

és

C J

szelőkre alkalmazva a szelőkre és érintőre vonatkozó tételt

\begin{matrix} B H \cdot B S = B K^{2} = {(B D - D K)}^{2} = {(x - \sqrt[]{2})}^{2}, \\ B H = \frac{{(x - \sqrt[]{2})}^{2}}{B S} = \frac{\sqrt[]{2}}{12}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} C S \cdot C J = C K^{2} = {(C D + D K)}^{2} = {(x + \sqrt[]{2})}^{2}, \\ C J = \frac{{(x + \sqrt[]{2})}^{2}}{C S} = \frac{27 \sqrt[]{114}}{76} . \end{matrix}

Így a keresett arányok

\begin{matrix} B H : H S : S E = B H : (B S - B H) : \frac{1}{2} B S = \\ \frac{\sqrt[]{2}}{12} : (\frac{3}{4} \sqrt[]{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{12}) : \frac{3 \sqrt[]{2}}{8} = 2 : 16 : 9, \\ C S : S J : J F = C S : (C J - C S) : (\frac{3}{2} \cdot C S - C J) = \\ \frac{\sqrt[]{114}}{4} : (\frac{27 \sqrt[]{114}}{76} - \frac{\sqrt[]{114}}{4}) : (\frac{3 \sqrt[]{114}}{8} - \frac{27 \sqrt[]{114}}{76}) = 38 : 16 : 3. \end{matrix}