Kezdőlap


Feladat:	F.1636	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1970/január, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: F.1636

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azonos átalakításokkal

\begin{matrix} y = & tg x (1 - \frac{1}{cos 2 x}) = tg x \frac{(1 - 2 sin^{2} x) - 1}{cos^{2} x - sin^{2} x} = \frac{2 sin^{3} x}{cos x (sin^{2} x - cos^{2} x)} = \\ \frac{2}{ctg x - {ctg}^{3} x}, \end{matrix}

és mivel az előírt intervallumban az eredeti alak szerint

y > 2 tg x > 2

, az eredeti kérdés helyett kereshetjük a

\begin{matrix} \frac{2}{y} = ctg x - {ctg}^{3} x = ctg x (1 - {ctg}^{2} x) (< 1) \end{matrix}

függvény maximumát. Ez ugyanazon

x

mellett válik maximálissá, mint a

\begin{matrix} 2 {(\frac{2}{y})}^{2} = 2 {ctg}^{2} x {(1 - {ctg}^{2} x)}^{2} = 2 u^{2} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) \end{matrix}

függvény, ahol

u = ctg x < 1

.
Így a jobb oldal tényezői pozitívok, és összegük 2, állandó, tehát a függvény a pozitív számok számtani és mértani közepe közti ismert egyenlőtlenség szerint akkor veszi fel legnagyobb értékét, ha tényezői egyenlők:

\begin{matrix} 2 u^{2} = 1 - u^{2}, u = ctg x = \frac{1}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Ekkor pedig

\begin{matrix} {(\frac{2}{y})}_{max} = \frac{1}{\sqrt[]{3}} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3 \sqrt[]{3}}, y_{min} = 3 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Ezt az értéket a függvény az

x = 60^{\circ}

helyen veszi fel.

Megjegyzések. 1. Az

f (u) = \frac{2}{y} = u - u^{3}

függvény szélső értékét deriválással is meghatározhatjuk.

\begin{matrix} f' (u) = 1 - 3 u^{2}, \end{matrix}

tehát

f' (u) = 0

u = \pm \frac{1}{\sqrt[]{3}}

helyeken áll be. Feladatunk feltételei szerint

0 < u < 1,

emiatt csak az

u_{0} = 1 / \sqrt[]{3}

helyet kell megvizsgálnunk. Itt

f' (u)

csökkenve válik

0

-vá, ugyanis az ő deriváltjának ‐ az eredeti

f (u)

ún. második deriváltjának ‐

\begin{matrix} (f' (u))' = f'' (u) = - 6 u \end{matrix}

-nak az értéke a kérdéses

u_{0}

helyen

- 2 \sqrt[]{3} < 0

, tehát az

u_{0}

hely előtt

f' (u) > 0

, utána

f' (u) < 0

, így pedig az

f (u)

függvénynek maximuma,

y = 2 / f (u)

-nak minimuma van.
2. Négyzetre emelés nélkül is célhoz érhetünk, ha

2 / y

-t elsőfokú tényezőkre bontjuk, majd megszorozzuk ezeket pozitív állandókkal, amelyeket úgy választunk, hogy az így keletkező tényezők összege

u

-tól független legyen és legyen egy

u

érték, amelyre mind a 3 tényező egyenlő. Az első feltétel teljesül

1

α

1 + α

alakú tényezők választása mellett:

\begin{matrix} \frac{2 α (1 + α)}{y} = u \cdot [α (1 + u)] \cdot [(1 + α) (1 - u)] ≦ \end{matrix}

\begin{matrix} ≦ {(\frac{u + α (1 + u) + (1 + α) (1 - u)}{3})}^{3} = \frac{{(1 + 2 α)}^{3}}{27} . \end{matrix}

Emellett megoldhatónak kell lennie az

\begin{matrix} u & = α (1 + u), \\ u & = (1 + α) (1 - u) \end{matrix}

egyenletrendszernek. Innen

u

-t kiküszöbölve a

2 α^{2} + 2 α - 1 = 0

egyenlet gyöke

α = (\sqrt[]{3} - 1) / 2

, amivel

u = 1 / \sqrt[]{3}

, mint a fenti megoldásban.