Kezdőlap


Feladat:	F.1635	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kabos Sándor
Füzet:	1969/november, 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: F.1635

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Prímtényezős felbontásban $1968 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 41$ , így azt kell megmutatnunk, hogy az adott kifejezés az (egymáshoz páronként relatív prím) $2^{4}$ , $3$ , $41$ tényezők mindegyikével osztható.
a) $2^{4}$ -nel a $6^{8 n} = 2^{8 n} \cdot 3^{8 n}$ és a $8^{16 n} = 2^{48 n}$ tag nyilvánvalóan osztható, hiszen $n ≧ 1$ , a maradó két tag pedig

\begin{matrix} 9^{4 n} - 1^{2 n} = 81^{2 n} - 1^{2 n}, \end{matrix}

(2)

osztható az alapok különbségével, ami

80 = 2^{4} \cdot 5

.
b) Mindjárt látjuk, hogy (1)-nek (2) része ‐ a kitevők páros volta miatt ‐ az alapok összegével is osztható, ami

82 = 41 \cdot 2

, így csak azt kell belátnunk, hogy az (1) további két tagjából alakuló kifejezés is osztható

41

-gyel. Valóban,

\begin{matrix} 8^{16 n} - 6^{8 n} = 64^{8 n} - 6^{8 n} = 2^{8 n} (32^{8 n} - 3^{8 n}), \end{matrix}

és itt a zárójelbeli tényező

\begin{matrix} (32^{8 n} - 9^{8 n}) + (9^{8 n} - 3^{8 n}) = (32^{8 n} - 9^{8 n}) + 3^{8 n} (81^{2 n} - 1^{2 n}), \end{matrix}

és itt a fentebbihez hasonlóan az első zárójelbeli különbség osztható

32 + 9 = 41

-gyel, a második zárójelről pedig ezt már fentebb felismertük.
c) Végül (1) középső két tagja nyilvánvalóan osztható

3

-mal, a két szélső pedig

8^{16 n} - 1 = 64^{8 n} - 1^{8 n}

, osztható

64 - 1 = 3^{2} \cdot 7

-tel.
Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Kabos Sándor (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A c) rész azt is mutatja, hogy az

n

egymás utáni értékeivel adódó (1) számoknak

3 \cdot 1968

is közös osztója. Hasonlóan további közös tényezők is kimutathatók, itt azonban figyelmen kívül maradtak az aktuális évszám kétféle megjelenése miatt.