Feladat: F.1634 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beck J. ,  Birkner L. ,  Boda S. ,  Bukta Erzsébet ,  Cserháti A. ,  Deák Zsuzsanna ,  Donga Gy. ,  Fábri I. ,  Fialovszky Alice ,  Fischer Ágnes ,  Forrás L. ,  Gajdács Ibolya ,  Hübler A. ,  Kiss Péter ,  Kovács Éva ,  Kováts Annamária ,  Krasznai P. ,  Krisch I. ,  Maknics Z. ,  Máté A. ,  Máthé Mariann ,  Mátrai L. ,  Mihálffy P. ,  Nagy Dénes ,  Nagy Rozália ,  Németh I. ,  Pethő G. ,  Petravich G. ,  Pintér I. ,  Pintér Vera ,  Sailer Kornél ,  Simon Júlia ,  Szalai G. ,  Szalay Csilla ,  Szalontai Á. ,  Szamosújvári S. ,  Szász J. ,  Szengofszky Oszkár ,  Szitás I. ,  Szőke A. ,  Turi A. ,  Török Gy. ,  Víg T. ,  Viszkei Gy. ,  Zambó Péter ,  Zöldy B. 
Füzet: 1969/november, 107 - 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Lefedések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/november: F.1634

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az utóbbi megjegyzés szerint a feladat ekvivalens azzal, hogy egy 46 cm átmérőjű körben minél több 4×12 cm méretű téglalapot helyezzünk el, átfedés nélkül. Olyan elhelyezést adunk, amelyben minden téglalap egyik-egyik oldaliránya párhuzamos.

 

 

Az átmérőre a téglalap szélessége 11-szer fér rá, s mivel 11 páratlan szám, azért a kört úgy osztjuk 4 cm széles sávokra, hogy a középső sáv szimmetrikus legyen egy átmérőre. Így a sávokat határoló húrok rövidebbike rendre 2, 6, 10, 14, 18, 22 cm-re van a középponttól, ezért hossza, Pitagorasz tételével, rendre 45,8; 44,4; 41,4; 36,4 (>3⋅12), 28,6 (>2⋅12), 13,4 (>12), vagyis a 2 szélső sávból 1‐1, a következőkből 2‐2, a középső 7 sávból 3‐3 téglalap vágható ki. És mivel a mondott második húr hossza a szélesség 2-szeresénél többel haladja meg 3 téglalap hosszát: 44,4 >3⋅12+2⋅4 (és a téglalapnak 3-szor olyan hosszúnak kell lennie, mint a szélessége), azért a középső 3 sávbeli téglalapok egyik végéhez keresztirányban még 2 téglalap illeszthető be (vagy a két végéhez 1‐1). Így 2+4+21+2=29 téglalapot rajzolhatunk be, ill. 29 deszkát vághatunk ki a fatörzsből.
Nem bizonyítjuk, hogy több deszka nem vágható ki, csak azt jegyezzük meg, hogy a kör területe a téglalap területének 34-szeresénél még több, de a 35-szörösénél már kevesebb.
 

Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., III. o. t.)

Szengofszky Oszkár (Budapest, Berzsenyi D Gimn., III. o. t.)