Kezdőlap


Feladat:	F.1633	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/március, 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: F.1633

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előrebocsátjuk, hogy csak olyan megoldásokat keresünk, amelyekben $x$ , $y$ , $z$ pozitív hegyesszögek.
(1) helyes voltának igazolása:

\begin{matrix} sin 15^{\circ} + sin 45^{\circ} = 2 sin \frac{15^{\circ} + 45^{\circ}}{2} cos \frac{15^{\circ} - 45^{\circ}}{2} = cos 15^{\circ} = sin 75^{\circ}, \end{matrix}

mutatja, hogy

x + y = 60^{\circ}

esetén, más szóval

x = 30^{\circ} + u

y = 30^{\circ} - u

esetén mindig fennáll

\begin{matrix} sin x + sin y = cos \frac{x - y}{2} = cos u = sin (90^{\circ} - u), \end{matrix}

ennélfogva

u = 1^{\circ}

2^{\circ}

...

29^{\circ}

mindegyike egy-egy kívánt alakú megoldást szolgáltat.

u

további egész értékei nem adnak új megoldást, ugyanis pl.

u = 31^{\circ}

esetén

sin 61^{\circ} + sin (- 1^{\circ}) = sin 59^{\circ}

, és ezt nem tekintjük a

sin 59^{\circ} + sin 1^{\circ} = sin 61^{\circ}

-tól különböző megoldásnak.

u = 0^{\circ}

esetén pedig

z = 90^{\circ}

.
Eszerint az

x = 30^{\circ} + u

y = 30^{\circ} - u

z = 90^{\circ} - u

alakú, nem triviális, lényegesen különböző megoldások száma

29

.
A mondottak természetesen nem zárják ki más alakú megoldás létezését. A feladat viszont nem kívánta az összes megoldás előállítását.