A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Jelöljük tükörképét a háromszög -nál, -nél, -nél levő szögének felezőjére sorra -gyel, -vel, -mal. A kívánt , , tükörképeket két-két, az , , ill. pont körüli elfordítással állítjuk elő. Pozitívnak azt a forgási irányt vesszük, amely az félegyenest -nál kisebb elfordulással viszi át -be. Legyen és (1. ábra). Ekkor -t a szög felezőjébe nagyságú elfordulás viszi át, az előírt helyzetbe pedig -szer ekkora elfordulás: . -nek első lépésül -val való elfordítása az -n való tükrözését jelenti az helyzetbe, ahol a tükörképe -re, második lépésül ezt -val fordítjuk el. ‐ Ugyanezt a véghelyzetet kapjuk, ha -t -vel felcserélve, -t -re tükrözzük az helyzetbe, ami -val történő elfordítás, majd a képet -val fordítjuk el. Ezek szerint az félegyenes felezi a szöget, pontosabban az -ből -be vivő elfordulást. És mivel , ezt is mondhatjuk: a szakasz felező merőlegese. Ugyanígy, tükörképét -re -val jelölve a szakasz felező merőlegese, pedig a szakaszé, vagyis a vizsgálandó , , egyenesek a háromszög oldalfelező merőlegesei, tehát ennek a háromszögnek középpontjában metszik egymást ‐ hacsak a mondott háromszög nem fajult el egyenesszakasszá. Ezt kellett bizonyítanunk; tehát az állításbeli pont .
b) -ként az háromszög magasságpontját választva -ként ‐ a fenti helyén ‐ az háromszög köré írt kör középpontját kapjuk, hiszen ekkor ‐ mint jól ismert ‐ a , , tükörképek -n adódnak. Minthogy pedig egy tükörkép egyenesnek ugyanazon tengelyre vett tükörképe az eredeti egyenes, -t véve -ként, -ként -et kapjuk, vagyis a háromszög ezen két nevezetes pontját a feladatban vizsgált eljárás egymásba viszi át. -ként az súlypontot választva, megmutatjuk a tétel szerint kapott pont következő tulajdonságát: az a pontja a háromszög síkjának, amelynek az egymás utáni oldalaktól mért távolságai arányosak a megfelelő oldalak hosszával. Ehhez belátjuk, hogy az pont szögfelezőjére vett tükörképének az , oldalaktól mért , távolságaira fennáll , és természetesen ugyanez az aránya az egyenes minden pontja távolságainak a mondott oldalaktól. Ebből már következik, hogy -nek az analóg -vel való metszéspontjára és , tehát . A súlypont ismert harmadoló tulajdonsága miatt -nek az , oldaltól mért távolsága az , ill. magasság részével egyenlő (2. ábra), így re nézve , , és mivel még , , ahol a háromszög területe,
Bajmóczy Ervin (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) | Máté András (Budapest, I. István Gimn., I. o. t.) | Megjegyzés. Ha ismerjük a következő tételt, akkor megadhatjuk, mely pontok esetén jön létre . Egy pontnak az (nem elfajult) háromszög oldalegyenesein levő , , vetületei akkor és csak akkor vannak egy egyenesen, ha a háromszög köré írt kör kerületén van (az egyenes a háromszöghöz és a ponthoz tartozó Simson-féle ‐ más névvel Wallace-féle ‐ egyenes). Mármost , , a , , ponthármas -szeresre nagyított képe -ből mint középpontból, tehát a háromszög akkor és csak akkor fajul el egyenessé ‐ és így nem jön létre ‐, ha a -n van (3. ábra).
3. ábra II. megoldás. Messe a , , oldalt a , , egyenes rendre az , , pontban (4. ábra), a szóban forgó tükörképük pedig rendre az , , pontban.
4. ábra Egyelőre feltesszük, hogy mindegyik metszéspont létrejött. Ekkor Ceva tétele szerint fennáll | | (1) | és azt kell bebizonyítanunk, hogy teljesül a következő is: | | (2) |
Legyen az háromszög körüljárása pozitív (vagyis pl. -t -be, -nál kisebb szöggel, pozitív forgás viszi át), és a , , forgásszög mértékszáma rendre , , , ekkor szerkesztésnél fogva ugyanennyi (esetleg -kal több vagy kevesebb) a , , szög mértékszáma, úgyszintén az , , szög mértékszáma is. Az és háromszögekből a sinustétel alapján | | hasonlóan a , , valamint , háromszögpárokból | | (3) | és ezekkel az (1) feltevés így alakul | | (4) |
Másrészt az , , valamint , és , háromszögpárokból
ezek szorzata pedig (4) figyelembevételével (2)-t adja, amit bizonyítani akartunk. Ha a , , egyenesek, ill. szóban forgó tükörképük közül egy vagy több párhuzamos a háromszög megfelelő oldalával, speciális esetek adódnak, ezekben a bizonyítás egyszerűbben alakul. Példaként csak a esetet vesszük (, ne legyen párhuzamos oldallal, és , , is jöjjenek létre, 5. ábra).
5. ábra Ekkor , , , egy trapéz csúcsai, és hasonló háromszögekből tehát szorzatuk . Másrészt, ha az egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint , akkor , így a (3) jobb oldalain álló kifejezések szorzatát megszorozva -val, aminek értéke , és így is írható: | | ismét megkapjuk (4)-et.
Az 1. ábrán az egyenesdarab pótlandó.A feltétel elegendő volta bizonyítását speciális esetre lásd pl. Faragó László-Forgó Péterné: Geometriai szerkesztések, 2. kiadás (Középiskolai Szakköri Füzetek), Tankönyvkiadó, Budapest, 1954, 103. o.Lásd az 1437. feladathoz fűzött megjegyzést, K. M. L. 33 (1966) 207. o., legutóbb felhasználva az 1119. gyakorlatban, K. M. L. 36 (1968) 158. o. (1) megfordítva is érvényes: ha (1) teljesül, akkor , , egy ponton mennek át. |