|
Feladat: |
F.1631 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Dombi G. , Donga György , Fialovszky Alice , Fischer Ágnes , Galántai A. , Gegesy F. , Gerhardt T. , Graffjódi L. , Hegyi Gy. , Loványi I. , Máté A. , Nagy András , Nagy Dénes , Petravich G. , Posgy K. , Radványi Katalin , Simon Júlia , Szalai G. , Szalontai Á. , Tóth Attila , Várhegyi Éva , Zambó Péter |
Füzet: |
1970/április,
145 - 149. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Százalékszámítás, Numerikus és grafikus módszerek, Terület, felszín, Számtani sorozat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/november: F.1631 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az oldalú szabályos háromszög alapjára db sugarú kört írva az 1c) ábra szerint és a sorok száma ugyancsak . Ezért a körök együttes száma , a lefedett terület és ennek aránya a háromszög területéhez | | (1) | Ez esetében, egészre kerekítve rendre 60%, 73%, 79%. 1. ábra II. Eredményünk így alakítható: | | Itt a zárójelbeli kivonandó nagy -ekre várhatóan kevéssel különbözik a törttől ‐ ami úgy keletkezik, hogy a számlálóban is, a nevezőben is csak azt a tagot tartjuk meg, amely -et a legmagasabb hatványán tartalmazza. Egyszerű számítás mutatja, hogy a módosított tört és az eredeti tört különbsége nagyobb, mint tehát Azt kell biztosítanunk, hogy a jobb oldal nagyobb legyen -nél: a körök tehát biztosan lefedik a háromszög területének 90%-át, ha egy oldalon legalább 62-t veszünk belőlük. (Természetesen a közelítő értéket használtuk, mert miatt a -es közelítő értékkel a nevezőben csak egy értékes jegyünk lenne.) III. A négyzetbe írt körök esetében rajzoljuk meg az érintkező körök közös érintőjét a kör legközelebbi érintőjével való metszéspontig, ill. a négyzet kerületéig. Így a 2a) ábra minden köre körül ismét négyzet jön létre, a 2b) ábra körei körül viszont a körülírt szabályos hatszögük, amennyiben a kör 6 másik körrel érintkezik, különben pedig egy ötszög vagy trapéz. 2. ábra A 2a) ábra esetében a fedési arány bármely esetében ugyanannyi, ti. ( a négyzet oldala). Így -es fedés nem érhető el. A 2b) ábra esetében -re és -ra az arány kisebb ennél, hiszen ekkor a 2a) ábra szerinti 4, ill. 9 kör helyett csak 3-at, ill. 8-at tudunk berajzolni. Ennek ellenére -et elég nagyra választva a -es fedés ‐ mint majd látjuk ‐ túlléphető. Ehhez előrebocsátjuk a következőket. növelésével várható, hogy -nél több sor rétegezhető egymás fölé, így ellensúlyozódik az a veszteség, hogy a páros sorszámú sorok 1-gyel kevesebb kört tartalmaznak. Másrészt egy sugarú kör a köréje írt szabályos hatszög területéből többet fed le, mint rész, hiszen a hatszög oldala , területe , és -et ezzel osztva Végül a 6-nál kevesebb körrel érintkező körök az érintődarabok által köréjük írt sokszög területéből ennél ugyan kisebb hányadrészt fednek le, várható viszont, hogy növelésével a négyzet kerülete közelében lefedetlenül maradt terület csökken. (Hasonlóan, mint az 1. ábra, szerinti berajzolás esetében, hiszen a 2b ábrán a körök kölcsönös helyzete az 1. ábra szerinti.) Rátérve a számításra, írjunk az alapra kört és legyen a körökből álló vízszintes sorok száma . Az alsó sorbeli körök legmagasabb pontja magasságban van a négyzet alapja fölött, és ez a magasság sorról sorra -mal lesz több, ti. ennyi a 3, páronként érintkező kör középpontjai által meghatározott háromszög magassága. Így az alsó sor fölé annyi további sor rétegezhető, amennyi a hányados egész része: Aszerint, hogy páros, ill. páratlan, a berajzolt körök száma | | hiszen két szomszédos sorban kör van. Ebből a lefedett terület kiszámítható. Vegyük példának és esetét. | | vagyis a sorok száma 7, ill. 9 (az áttérésben 2-vel nőtt), közülük a rövidebbek száma 3, ill. 4, igy a körök száma | | és a lefedési arány | | A növekedést az is magyarázza, hogy esetében a felső sor fölött olyan sáv maradt üresen, amelynek szélessége a körátmérőnek -szerese, amennyit az egész rész képezésekor elhagytunk, viszont esetében ez az arány csak . Jelöljük -vel azoknak a soroknak a számát, amelyekben csak kör van, ezt -nel becsüljük: | | Ezt felhasználva | | ami nagyobb -nél, ha Pl. esetén .
Donga György (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.) |
dolgozatának felhasználásával, számos kiegészítéssel | Megjegyzések. 1. A háromszögbe írt körök esetében növekedésével ‐ mint arra fent csak céloztunk ‐ valóban monoton nő, ugyanis
hiszen a számlálóbeli együtthatók pozitívok. 2. A háromszögbe írt körök esetében a becsléssel talált eredményt megkaphatjuk a (másodfokúra vezető) egyenlet megoldásával is, pozitív gyökét () a legközelebbi egész számra fölkerekítve. Valóban, nagyobb pontosságú számítással . 3. A négyzetbe írt körök esetére megmutatjuk, hogy -ről -re áttérve a fedettségi arány csak nőhet. esetén a második sorbeli kör legfelső pontjának magassága | | viszont esetén a 4. sorbeli körök legfelső pontja alacsonyabban van: és az eddig elhelyezett körök száma 2n-1-ről több mint a 4-szeresére emelkedett: -re. Utóbbi megállapításunk két, ill. 4 szomszédos magasabb sor esetére is érvényes, de itt a 2, ill. 4 sor szélessége (alsó és felső pontjaik egyenesének távolsága) ugyanannyi. Végül a kétféle kitöltést 1, ill. 2 soros sávonként folytatva előfordulhat, hogy sugarú körből már nem fér be 1 sor, de sugarúból befér. Ezek szerint, ha egy érték esetén a fedés több, mint 90%, akkor mondhatjuk, hogy tetszés szerinti számú olyan érték van.
|
|