I. megoldás. A szabályos oktaéder leírását és szimmetriáit ismertnek vesszük, nem bizonyítjuk. A befestendő modelleket mozgathatónak tekintjük.
A $8$ lap $4$ párhuzamos párt alkot, így a színek mindegyikével $1$ párt, azaz $2$ lapot festünk be. Egy szín-elrendezés meghatározásához elegendő megadni egyetlen csúcsban az ott összefutó $4$ lap színeinek kölcsönös helyzetét, hiszen ezek közt nincs párhuzamos, és így mindegyik szín egyik előfordulását elhelyeztük. A választott csúcs szín-rendjét úgy írjuk le, hogy a csúcsba befutó tengelyt szemünk felé irányítjuk és egyik ‐ mondjuk a piros ‐ laptól az órajárással szemben haladva megadjuk az egymás után látott három színt (az utolsó után ismét a piros következik).
A piros utáni első szín $3$-féleképpen választható, a következő $2$-féleképpen, és ezzel az utolsó lap színe is kiadódott; ezek szerint egy csúcs környezetének (a befutó $4$ lapnak) színezése $3\cdot 2=6$-féleképpen lehetséges. A teljes oktaéderre ezekből adódó színezések azonban nem különböznek egymástól. Megmutatjuk ugyanis, hogy az oktaédernek kívánt színezésében mind a $6$ csúcs szín-rendje különböző; ebből következik, hogy a mondott $6$-féle megindulás ugyanarra az eredményre vezet.
Valóban, két szemben levő csúcs színezése különböző, mert pl. az $E$ elülső csúcsbeli jobb felső lapot pirosra, a továbbiakat rendre fehérre, zöldre, kékre festve (1. ábra) a $H$ hátulsó csúcsban összefutó lapok belső oldalát ugyancsak $p$, $f$, $z$, $k$ sorrendben látjuk ‐ éspedig $p$-t balról lent ‐, ezért $H$-ra hátulról ‐ azaz kivülről ‐ ránézve $p$, $k$, $z$, $f$ a sorrend.

 

1. ábra

 

 

2. ábra