|
Feladat: |
F.1627 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bajmóczy E. , Bauer Katalin , Boda S. , Donga Gy. , Farkas Gy. , Fazekas Béla , Fazekas Gábor , Fischer Ágnes , Füredi A. , Gajdács Ibolya , Gegesy F. , Gönczi I. , Göndőcs F. , Horváth Gyula , Joó G. , Kabos S. , Kánya Olga , Kerekes J. , Komjáth P. , Krasznai András , László I. , Láz J. , Lukács Péter , Magyar Á. , Maróti P. , Martoni V. , Morvai I. , Munka Margit , Nagy Dénes , Nikodémusz Anna , Papp Z. , Petravich G. , Pintér Vera , Prőhle T. , Pukler A. , Schván P. , Simon Júlia , Szabó György , Szabó Katalin , Szalay Csilla , Szalontai Á. , Szamosújvári Sándor , Tél T. , Török Gyula , Várhegyi Éva , Viszkei Gy. , Zachar Z. |
Füzet: |
1969/május,
199 - 204. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/október: F.1627 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a járműveket -vel, útvonalaikat -vel, ahol , az útvonalak metszéspontját -mel (1. ábra).
1. ábra A találkozási időadatok és a sebességek állandó iránya alapján és , ezért az útvonalpár metszi egymást és egyrészt és , másrészt és között van. Megmutatjuk, hogy -nek és -nak -on való áthaladási időpontja megegyezik. Jelöljük -nek 1 perc alatt megtett útját -vel, így a sebességek számértékének állandó volta alapján 4 =220, =60; =40, =150; =240; =90. Messe az -mal -en át húzott párhuzamos -et ( és között, hiszen ugyanazon oldalán van -nak, mint ) -ben, ekkor a szög szárait metsző párhuzamosok tételeit előbb az szögre, majd az szögre alkalmazva egyrészt | | amiből a fenti értékekkel | | és így másrészt
amiből | | Ezek szerint az utat 200 perc alatt teszi meg, -on éjfél után 200 perccel, azaz -kor halad át, pedig az -beli -es találkozása előtt 20 perccel, vagyis ugyancsak -kor. ‐ Ezzel a megoldást befejeztük. Krasznai András (Gyöngyös, Vak Bottyán Gimn., IV. o. t.) Megjegyzés. Számításunkat részben megismételjük a lényegében azonos, egyszerűbb betűzésű ábrához kapcsolódva, ahol az háromszög oldalegyenesét az egyenes rendre a pontban metszi és . Ebből két módon kifejezve, ezeket egyenlővé téve, majd az első kifejezést a másodikkal osztva | | az ún. Menelaosz-féle tételt kaptuk. (A szakaszokat a háromszög körüljárása mentén irányítva a tétel tulajdonképpen azt mondja, hogy a 3 hányados szorzatának értéke ‐1; ugyanis egy a háromszög mindhárom oldalegyenesétől különböző egyenes vagy két pontban metszi a kerületet és ekkor egy oldal meghosszabbítását metszi, vagy mindhárom oldal meghosszabbítását metszi, és minden ilyen esetben a megfelelő hányados negatív, pl. az ábrán és ellentétes irányúak, míg az első két hányados pozitív, mert az és oldal szeletei egyirányúak.)
Esetünkben , ezeket behelyettesítve , másrészt , így . Alkalmazzuk másrészt a tételt az háromszögre, szelőnek véve -t: amiből , továbbá , így . Ezeket időre átszámítva mindkét esetben adódik áthaladási időpontnak. II. megoldás a feladat első részére. Az időpont kiszámítása nélkül bizonyítjuk, hogy és találkoztak. Nyilvánvaló, hogy ha két egyenesvonalú, egyenletes mozgást végző testről tudjuk, hogy ‐ bár útvonalaik különbözők ‐ találkoztak, vagyis utaik kereszteződésén egyszerre haladtak át, akkor bármely időpontban megrajzolva a testeket összekötő egyenest, ennek iránya mindig ugyanaz, és mindkét út írányától különböző (2. ábra). Ha a feltevések 3 testre páronként érvényesek, akkor a 3 test bármely időpontban egy egyenesen helyezkedik el, mert ‐ a kimondott eredményt a hármasra alkalmazva ‐ iránya is, iránya is állandó, és a találkozás időpontjában közös pontjuk van: . Ugyanez áll a hármasra, s mivel és mindkét hármasnak tagja, mind a négy járműre. Ezért és metszéspontján és egyszerre haladt át. Lukács Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) Megjegyzés. A bizonyítást kiegészíthetjük a találkozási időpont grafikus meghatározásává (1. ábra). Ehhez alapot ad egy az útvonalakról szerkesztett mérethű térképvázlat, miután megválasztottuk az közti szöget, továbbá és arányát. Könnyű ezen kijelölni -nek -kor elfoglalt helyzetét, ami -nek első harmadoló pontja (vagy -nek -kor, majd -kor elfoglalt helyzetét), s ekkor a 4 pontot állandóan felfűző egyenes -kor a helyzetben van. Mármost -re bárhol merőlegest ‐ időtengelyt ‐ állítva, ezen pl. és vetülete meghatározza az időskálát, végül , vetületében leolvashatjuk értékét. Az olvasóra hagyjuk a mondottak bizonyítását (aminek természetesen azt is tartalmaznia kell, hogy az eredmény független és a arány megválasztásától). III. megoldás a feladat első részére. Gondoljuk, hogy mind a négy jármű éjfélkor indult el és ugyanakkor mindegyikről felszállt egy madár, ezek mindegyike a maga járműve fölött repült és a 4 madár közös sebességgel emelkedett fölfelé. Így a madarak pályái is egyenesek és az adatok szerinti 5 találkozásnak megfelelően a megfelelő madárpályák páronként metszik egymást, hiszen bármelyik két útvonal metszéspontja fölött áthaladva a hozzájuk tartozó két madár magassága egyenlő volt (3. ábra).
3. ábra Mármost és egy síkban van, mert páronként metszik egymást, különböző pontokban. Ugyanígy és is egy síkban és ez a sík azonos az előbbivel, mert két különböző közös egyenesük van. Eszerint és egy síkban van, metszik egymást. A metszéspontban és madara találkozott, mert a metszéspont magassági értékét mindkettő egyszerre haladta át, ezért (alattuk) járműveik is éppen találkoztak. Szamosújvári Sándor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.) ötlete, módosítva IV. megoldás. Vegyünk fel a síkban egy tetszőleges pontot origónak, és jellemezzük a sík pontjait az origóból hozzájuk vezető vektorral, az illető pont helyvektorával. Ha egy egyenletesen mozgó jármű a időpontban az helyen, időben pedig -ben van, akkor a időponthoz tartozó helyvektor: | | (1) | hiszen a jármű sebessége , így az pontból indulva idő múlva az pontba jut, amiből egyszerű átalakítással kapjuk (1)-et. Jelöljük az pontok helyvektorát rendre -vel, az pontokét , -gyel. Ekkor (1) alapján | | Hasonló eredményt kapunk, ha az helyvektorú pontokban rendre 60, 220, 80 egységnyi tömeget helyezünk el: ekkor épp az tömegpár súlypontja, pedig a tömegpáré. A három tömeg (együttes) súlypontja: Ez a pont rajta van a II., III. jármű útvonalán, vagyis az , illetve szakaszon, hiszen | | (1) alapján meghatározhatjuk azt is, hogy a pálya egy adott pontján milyen időpontban halad át a jármű: | | Eszerint a II. jármű az ponton abban a időpontban halad át, melyre (az időt -tól percben mérve) | | azaz . Hasonlóan a III. jármű -en való áthaladásának időpontjára. | | azaz , vagyis a két jármű valóban egy időben halad át -en. (Tusnády Gábor) Megjegyzés. A fenti gondolatmenettel beláthatjuk, hogy ha a járművek az pontokban időpontban haladnak át, és az pont az -ben ható rendre nagyságú súlyokhoz tartozó súlypont, akkor a megfelelő járművek -en a időpontban haladnak át. Feladatunk adataival | |
|
|