Kezdőlap


Feladat:	F.1625	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zambó Péter
Füzet:	1969/március, 103 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: F.1625

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szóba jövő $x$ értékekről egy első tájékoztatást nyerhetünk abból, hogy $x - 1 < [x] \leq x$ . Az egyenlet bal oldalán álló kifejezést csökkentjük, vagy legalábbis nem növeljük, ha $[x]$ helyére $x$ -et írunk benne, és növeljük, ha helyette $x - 1$ -et írunk. Azokra az $x$ -ekre tehát, amelyekre az egyenlet teljesül,

\begin{matrix} x^{3} - 40 x - 78 \leq 0 és x^{3} - 40 x - 38 > 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 38 < x (x^{2} - 40) < 78. \end{matrix}

Itt vagy mind a két tényező pozitív, vagy mind a kettő negatív. Az első esetben

x > \sqrt[]{40}

, és a középső kifejezés növekedő

x

-szel nő. Így, mivel

x = 8

-nál az értéke már

78

-nál nagyobb, tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{40} < x < 8. \end{matrix}

A második eset akkor következik be, ha

\begin{matrix} - \sqrt[]{40} < x < 0. \end{matrix}

Az ezeknek a feltételeknek megfelelő

x

értékek egész része a következő lehet:

\begin{matrix} - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 6, 7. \end{matrix}

Ezekkel az értékekkel mint

[x]

értékekkel kiszámítva az egyenlet szerint adódó

\begin{matrix} x = \sqrt[3]{40 [x] + 78} \end{matrix}

(2)

értékkel akkor kapjuk az egyenlet egy gyökét, ha egész része a kiindulásul használt érték lesz. Ezek az értékek táblázat alapján két tizedesjegy pontossággal rendre

\begin{matrix} - 5,87; \underset{̲}{- 5,45}; \underset{̲}{- 4,96}; - 4,34; - 3,48; \underset{̲}{- 1,26}; 3,36; \underset{̲}{6,83}; \underset{̲}{7,10} . \end{matrix}

Közülük az aláhúzott öt érték teljesíti a mondott feltételt, tehát ezek adják az egyenlet gyökeit.

II. megoldás. Grafikusan oldjuk meg az egyenletet, az átrendezett

\begin{matrix} \frac{x^{3} - 78}{40} = [x] \end{matrix}

(3)

alakjának két oldalán álló függvényeket külön-külön ábrázoljuk, és leolvassuk a két grafikon minden egyes közös pontjának abszcisszáját, ez adja egy-egy gyök közelítő értékét.

Az ábráról a

(- 6,8)

intervallumban kb.

0, 05

(

1 / 20

egység) pontossággal a következő gyökök olvashatók le:

\begin{matrix} x_{1} = - 5, 45, x_{2} = - 4, 95, \\ x_{3} = - 1, 25, x_{4} = 6, 85, x_{5} = 7, 10. \end{matrix}

x_{5}

-nél nagyobb gyök nincs. Ugyanis az

y = [x]

függvény

x

-nek

1

egységnyi növekedése esetén

1

-gyel nő. Viszont a (3) bal oldalán álló függvény növekedése, ha

x

helyére

x + 1

-et írunk:

\begin{matrix} \frac{{(x + 1)}^{3} - 78}{40} - \frac{x^{3} - 78}{40} = \frac{3 x^{2} + 3 x + 1}{40} = \frac{3}{40} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{160}, \end{matrix}

ennek értéke

x > 7

esetén nagyobb

3

-nál, a bal oldal képe mindig fölötte van

y = [x]

képének.
Hasonlóan nincs

x_{1}

-nél kisebb gyök, mert a talált másodfokú függvény értéke

x < - 6

esetén is nagyobb

2

-nél, tehát a bal oldal képe mindig alatta van

y = [x]

képének.

Megjegyzés. A megoldást továbbfejlesztve a gyökök tetszés szerinti pontossággal meghatározhatók. A metszéspontokban leolvashatjuk

[x]

értékét, ez rendre

- 6

- 5

- 2

6

, ill.

7

, ennek ismeretében pedig (1) tiszta harmadfokú egyenlet. (2) alapján, köbgyöktáblázat felhasználásával,

4

tizedes pontossággal:

\begin{matrix} x_{1} & = \sqrt[3]{- 162} = - 5, 4514, & x_{4} = \sqrt[3]{318} = 6, 8256, \\ x_{2} & = \sqrt[3]{- 122} = - 4, 9597, & x_{5} = \sqrt[3]{358} = 7, 1006. \\ x_{3} & = \sqrt[3]{- 2} = - 1, 2599, \end{matrix}

Zambó Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)