Kezdőlap


Feladat:	F.1624	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fal Imre , Gajdács Ibolya , Gegesy Ferenc
Füzet:	1969/március, 100 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: F.1624

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás a) Azt kell belátnunk, hogy ha $c$ és $d$ természetes számok, akkor

\begin{matrix} c (c + 1) = d (d + 2) \end{matrix}

(1)

nem teljesülhet. Valóban, ha

d \geq c (> 0)

, akkor

d + 2 > c + 1

, tehát a jobb oldalon nagyobb szám áll, mint balról. Ha pedig

(0 <) d < c

, akkor

d + 2 \leq c + 1

, és a jobb oldalon kisebb szám áll, tehát semmiképpen nem áll fenn egyenlőség.
b) Annak belátását, hogy az

\begin{matrix} m^{4} + {(m + 1)}^{4} = n^{2} + {(n + 1)}^{2} \end{matrix}

(2)

egyenlőség nem teljesülhet, ha

m

n

természetes számok, visszavezetjük az a) állításra. Kifejtéssel, majd

1

-et mindkét oldalon elhagyva,

2

-vel osztva, végül mindkét oldalt szorzattá alakítva (2) így alakul:

\begin{matrix} m^{4} + 2 m^{3} + 3 m^{2} + 2 m = n^{2} + n, \\ (m^{2} + m) (m^{2} + m + 2) = n (n + 1), \end{matrix}

és itt

m^{2} + m

természetes szám. Ez pedig (1) szerint lehetetlen.

Gajdács Ibolya (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás a) Elég azt belátnunk, hogy ha

c

természetes szám, az

\begin{matrix} x (x + 2) = c (c + 1), azaz {(x + 1)}^{2} = c^{2} + c + 1 \end{matrix}

egyenlet pozitív gyöke:

\begin{matrix} x = - 1 + \sqrt[]{c^{2} + c + 1}, \end{matrix}

nem egész szám. Valóban, a gyök alatti

D

egész számra fennáll a következő kettős egyenlőtlenség:

\begin{matrix} c^{2} < D < c^{2} + 2 c + 1 = {(c + 1)}^{2}, vagyis \\ c < \sqrt[]{D} < c + 1, \end{matrix}

és itt

c

c + 1

szomszédos természetes számok, ezért

\sqrt[]{D}

nem természetes szám, tehát az

1

-gyel kisebb

x

sem egész.
b) Ha

m

természetes szám, az

\begin{matrix} x^{2} + {(x + 1)}^{2} = m^{4} + {(m + 1)}^{4}, másképpen \\ x^{2} + x = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = m^{4} + 2 m^{3} + 3 m^{2} + 2 m \end{matrix}

egyenlet pozitív gyöke:

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt[]{4 m^{4} + 8 m^{3} + 12 m^{2} + 8 m + 1}), \end{matrix}

és ez nem egész szám, mert nem racionális szám. Valóban, a diszkrimináns egész szám, de nem teljes négyzet, hiszen közéje esik a

2 m^{2} + 2 m + 1

és

2 m^{2} + 2 m + 2

szomszédos természetes számok négyzetének, ami

\begin{matrix} 4 m^{4} + 8 m^{3} + 8 m^{2} + 4 m + 1, ill. \\ 4 m^{4} + 8 m^{3} + 12 m^{2} + 8 m + 4. \end{matrix}

Ezzel az állításokat bebizonyítottuk.

Fal Imre (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o. t.)
Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)