Kezdőlap


Feladat:	F.1623	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston P. , Baintner L. , Beck J. , Besnyő J. , Boda Sándor , Divinyi S. , Dombi G. , Ésik Zoltán , Faragó I. , Farkas Gy. , Fazekas B. , Fialovszky Alice , Füredi A. , Gács Zsuzsa , Galántai A. , Gegesy F. , Gerhardt T. , Hadik R. , Kaján L. , Kerekes J. , Láz J. , Légrády G. , Magyar Á. , Maróti P. , Martoni V. , Máté A. , Müller Zója , Nagy András (Bp. Fazekas) , Nagy Dénes , Pálfy Judit , Papp Z. , Reviczky J. , Schűgerl Márta , Sisa J. , Somorjai G. , Szalontai A. , Szamosvári S. , Tél T. , Turi A. , Váradi K. , Zambó P. , Zöldy B.
Füzet:	1969/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: F.1623

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. I. Felismerjük, hogy a $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...$ számsorozat egy-egy összefüggő részsorozatában az $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...$ sorozat valamely $a_{k}$ tagja az első tag ‐ nevezzük ezt a részsorozat vezértagjának ‐, és mellette kivonandóként, majd hozzáadva szerepelnek egyenként az összes nála kisebb indexű tagok, az indexeknek előbb csökkenő, majd növekedő rendjében, $a_{k} - a_{1}$ és $a_{k} + a_{1}$ között pedig maga $a_{k}$ szerepel tagként. Eszerint az $a_{k}$ vezértagú részsorozat:

\begin{matrix} a_{k} - a_{k - 1}, a_{k} - a_{k - 2}, ..., a_{k} - a_{2}, a_{k} - a_{1}, a_{k}, a_{k} + a_{1}, a_{k} + a_{2}, ..., a_{k} + a_{k - 2}, a_{k} + a_{k - 1}, \end{matrix}

(1)

és tagjainak száma

2 (k - 1) + 1 = 2 k - 1.

Másrészt a vezértag szerepét egymás után

a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...

játssza, ennélfogva az

a_{k}

vezértagú részsorozat végéig a részsorozatok száma

k

, és tagjaik számának összege

\begin{matrix} 1 + 3 + ... + 2 k - 1 = \frac{1}{2} k [1 + (2 k - 1)] = k^{2}, \end{matrix}

ez az

a_{k} + a_{k - 1}

tag indexe. Eszerint valahányszor az index átlépi a

k^{2}

négyzetszámot, a vezértag szerepét átveszi

a_{k}

-tól az

a_{k} + 1

tag a sorozatból.
Ha mármost az adott index négyzetszám:

m = M^{2}

, akkor

b_{m} = a_{M} + a_{M - 1}

. Ha

m

nem négyzetszám és négyzetgyökének egész része

M

, vagyis

\begin{matrix} M^{2} < m < {(M + 1)}^{2}, és m = M + μ, \end{matrix}

ahol tehát

\begin{matrix} 0 < μ < 2 M + 1, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} b_{m} = {\begin{matrix} a_{M + 1} - a_{M + 1 - μ} & ha 0 < μ ≦ M; \\ a_{M + 1}, & ha μ = M + 1; \\ a_{M + 1} + a_{μ - M - 1}, & ha M + 1 < μ < 2 M + 1. \end{matrix} \end{matrix}

Az adott numerikus példákban

\begin{matrix} 1968 = 44^{2} + 32, 3968 = 62^{2} + 124, \end{matrix}

eszerint

\begin{matrix} b_{1968} = a_{45} - a_{13}, b_{3968} = a_{63} + a_{61} . \end{matrix}

II. Könnyű belátni, hogy az

a_{k}

vezértagú (1) részsorozat összege

(2 k - 1) a_{k}

, így

m = M^{2}

esetén az első

m

tag összege

\begin{matrix} s_{m} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + ... + b_{m - 1} + b_{m} = a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + ... + (2 M - 1) a_{M} = S_{M}, \end{matrix}

és erre egyszerűbb kifejezést nem adhatunk, amíg csak az

a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...

sorozat tagjairól közelebbi adatunk nincs.
Hasonlóan

m = M^{2} + μ

esetén a fenti összeghez hozzáadandó az

a_{M + 1}

vezértagú csonka részsorozat első

μ

tagjának összege, így

\begin{matrix} s_{m} = {\begin{matrix} S_{M} + μ a_{M + 1} - (a_{M} + a_{M - 1} + ... + a_{M + 1 - μ}), & ha 0 < μ ≦ M; \\ S_{M} + μ a_{M + 1} - (a_{M} + a_{M - 1} + ... + a_{1}), & ha μ = M + 1; \\ S_{M} + μ a_{M + 1} - (a_{M} + a_{M - 1} + ... + a_{μ - M}), & ha M + 1 < μ < 2 M + 1. \end{matrix} \end{matrix}

A fenti indexekre alkalmazva az eredményt:

\begin{matrix} S_{1968} = a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + ... + 87 a_{44} + 32 a_{45} - (a_{44} + a_{43} + ... + a_{13}); \\ S_{3968} = a_{1} + 3 a_{2} + ... + 123 a_{62} + 124 a_{63} - a_{62} . \end{matrix}

Boda Sándor (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o. t.)

Ésik Zoltán (Szeged, Ságvári E. Gyak Gimn., IV. o. t.)