Kezdőlap


Feladat:	F.1619	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Graffjódi László , Körtvélyessy Péter
Füzet:	1969/március, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/szeptember: F.1619

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. I. Legyenek a kérdéses $A B C$ derékszögű háromszög befogói $C A$ , $C B$ úgy, hogy az $A$ -ból induló $A D$ szögfelezőre teljesül $A D : D B = k$ .

A szögeket a szokás szerint jelölve az

A B D

háromszögből a sinustétel, valamint a kétszeres szögek függvényeire vonatkozó azonosság alapján egyenletet kapunk

sin \frac{α}{2}

-re:

\begin{matrix} k = A D : D B = sin β : sin \frac{α}{2} = cos α : sin \frac{α}{2} = (1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2}) : sin \frac{α}{2}, & (1) \\ 2 sin^{2} \frac{α}{2} + k sin \frac{α}{2} - 1 = 0, & (2) \end{matrix}

és innen egyértelműen

\begin{matrix} sin \frac{α}{2} = \frac{1}{4} (\sqrt[]{k^{2} + 8} - k) \end{matrix}

(ugyanis a negatív gyököt mindjárt elhagytuk).

II.

k

-t természetesen pozitívnak tekintve minden értéke mellett kapunk háromszöget. Ugyanis

\frac{α}{2} < 45^{\circ}

miatt csak

0 < sin \frac{α}{2} < \frac{1}{\sqrt[]{2}}

fogadható el, ez viszont minden

k > 0

esetén teljesül, mert

\begin{matrix} \sqrt[]{k^{2} + 8} < k + \sqrt[]{8}, \end{matrix}

ugyanis

\begin{matrix} {(k + \sqrt[]{8})}^{2} = k^{2} + 8 + 2 \sqrt[]{8} > k^{2} + 8. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \frac{1}{4} (\sqrt[]{k^{2} + 8} - k) < \frac{\sqrt[]{8}}{4} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

α

-t kiszámítva egyértelműen megkapjuk

β

-t.

\begin{matrix} k & = \frac{7}{2} esetén sin \frac{α}{2} = \frac{1}{4}, cos α = \frac{7}{8} = 0, 875, \\ α & = 28^{\circ} 57', β = 61^{\circ} 3' . \end{matrix}

III. Az

A B C

háromszög egyenlő szárú, ha

α = 45^{\circ}

, azaz (1) alapján, ha

\begin{matrix} k = \frac{cos 45^{\circ}}{sin 22, 5^{\circ}} = \frac{sin 45^{\circ}}{sin 22, 5^{\circ}} = 2 cos 22, 5^{\circ} = 2 \sqrt[]{\frac{1 + \sqrt[]{2}}{2}} = \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}} \approx 1, 841. \end{matrix}

(Az

A B D

háromszög pedig

k = 1

, azaz

α = 60^{\circ}

esetén egyenlő szárú.)

Graffjódi László (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)
Körtvélyessy Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Azt, hogy a (2)-ből

sin \frac{α}{2}

-re adódó pozitív érték mindig kisebb

\frac{1}{\sqrt[]{2}}

-nél, így is kapjuk: egyenletünk bal oldala

sin \frac{α}{2} = 0

esetén

- 1

, negatív,

sin \frac{α}{2} = \frac{1}{\sqrt[]{2}}

esetén pedig

\frac{k}{\sqrt[]{2}}

, pozitív, a gyök a két korlát között van. Ebben arra támaszkodtunk, hogy a bal oldal grafikonja a

0 \leq sin \frac{α}{2} \leq \frac{1}{\sqrt[]{2}}

intervallumban folytonos vonal.