Feladat:	F.1617	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/december, 211 - 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/szeptember: F.1617

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A tényezők egyenlők, tehát lényegében négyzetreemeléssel állunk szemben, éspedig a négyzet utolsó négy számjegye egyenlő az alappal. Így az $\overline{ABCD}$ számot $a$-val jelölve az $a^2-a$ különbség négy $0$ számjegyre végződik, osztható $10000$-rel, ami $2^4\cdot 5^4$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2-a=a\left(a-1\right)=2^4\cdot 5^4\cdot b\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $b$ egész szám, ti. $b=\overline{ECAK}$. $a$ és $a-1$ szomszédos egész számok, így relatív prímek, emiatt vagy mind a négy 2-es tényező $a$-ban, vagy mind a négy $a-1$-ben szerepel, tehát az a tényező többszöröse $16$-nak, a másikuk pedig hasonlóan $5^4$-nek, azaz $625$-nek páratlan többszöröse. Továbbá mindkét tényező $1000$ és $10000$ közötti szám, ugyanis az adott sémában $A\ne 0$, hiszen $A=0$ esetén $a^2$ legföljebb hat jegyű lenne, ebből $E=C=0$ következnék, amit pedig a feladat kizárt. Így $625$ szóba jövő többszörösei: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \mathrm{1875,}\mathrm{3125,}\mathrm{4375,}}& {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{5625,}\mathrm{6875,}\mathrm{8125,}9375.}\end{array}}$ A középső két oszlopbeliek nem felelnek meg, mert $2^2$-nel osztható szomszédjuk már $2^3$-nel sem Osztható, hasonlóan $4375$ törlendő, mert $4376$ nem osztható $16$-tal, így pedig ugyanez áll az őt ${10}^4$-re kiegészítő $5625$-re is. Eszerint $a$ és $a-1$ céljára csak $9375$ és $16$-tat osztható szomszédja, $9376$ felelhet meg. Próbát téve $a=9376$-tal a séma számjegyegyezéseit megtaláljuk, ebből $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $J$, $K$ értéke rendre $9$, $3$, $7$, $6$, $8$, $4$, $2$, $1$, $5$, $0$.   II. megoldás. Célhoz érünk a részletszorzatokban fellépő számjegyegyezések alapján is. Az utolsó oszlop szerint a $D\cdot D$ szorzat $D$-re végződik. Az ezt kielégítő $D=0$, $1$, $5$ és $6$ jegyek közül azonban $0$ és $1$ nem jön szóba, mert a $D$-vel képezett $JDGJD$ részletszorzat nem $0$, és nem is $ABCD$; továbbá $D\ne 5$, mert a részletszorzatok 4 különböző számjegyre végződnek; ennélfogva $D=6$. Eszerint a 4. részletszorzat utolsó $D$-je leírása után $3$ tízest viszünk át maradékként és a $J$ jegy a $D\cdot C+3=6C+3$ összeg egyes jegye, a fölötte álló $G$ pedig a $C\cdot D=6\cdot C$ szorzaté. Ezek szerint a vonal alatti $C$ a $12C+3$ összeg egyes jegye, vagyis $12C+3=10x+C$ ‐ ahol $x$ egész szám. Így $11C+3=10x$, a $11C$ szorzat $7$-re végződik, tehát $C=7$. Ebből $J=5$ és $G=2$, a negyedik részlet szorzat $56256$ és a szorzandó ennek $6$-odrésze: $\overline{ABCD}=9376$. Ennek a helyes voltát föntebb már láttuk.