|
Feladat: |
1616. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bálványos Z. , Bárány S. , Draschitz Rudolf , Gulyás A. , Göndöcs F. , Hárs L. , Jankó B. , Katona V. , Koren A. , Lempert L. , Maróti Péter , Máthé Mariann , Nagy András , Nagy Dénes , Nagy Zsigmond , Pál J. , Pintér Ágnes , Sax Gy. , Szabó Zsolt , Zambó Péter |
Füzet: |
1971/február,
50 - 52. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Vetítések, Háromszög alapú hasábok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/május: 1616. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Legyen a metszet csúcsának merőleges vetülete a -t tartalmazó oldalélen , ugyanígy és vetülete a -t, ill. -t tartalmazó oldalélen , ill. .
Így , és az háromszög csúcsainak magasságkülönbsége (a hasáb alapháromszögét vízszintes síkra téve) az , , derékszögű háromszögekből rendre | | (1) |
Az , , szakaszhosszak egyenértékű szerepet játszanak a feladatban, ezért föltehetjük, hogy nagyságviszonyuk: ezért és ebből
hiszen a legnagyobb magasságkülönbség egyenlő a másik kettő összegével, az törött vonaldarabon két lépésben ugyanannyit emelkedünk, mint a két végpontját összekötő egyenes szakaszon. Négyzetreemeléssel, átrendezéssel, újabb négyzetreemeléssel, végül -ra redukálva az egyenletet:
ami -re másodfokú egyenlet. A diszkrimináns része így alakítható:
tehát a -re adódó értékek valósak (az utolsó lépésben az idézett megoldás egyik átalakítását fordított irányban alkalmaztuk). Könnyű megmutatni másrészt az szorzattá alakítás háromszori alkalmazásával, hogy az egyenlet -t nem tartalmazó tagja egyenlő az háromszög területe -szeresének négyzetével, tehát pozitív szám. együtthatója viszont negatív (és együtthatója pozitív), vagyis a két (valós) gyöknek a szorzata is, összege is pozitív, tehát mindkettő pozitív.
A (2) gyökei csak esetén egyenlők, és ez csak akkor áll be, ha (3)-nak mindkét tagja , azaz , és így az első tagból , vagyis ha . Ekkor, mint könnyen látható, is egyenlő velük. Ha viszont , és nem mind egyenlők, akkor , és a -re adódó nagyobbik érték nagyobb -nél, tehát (1) szerint feladatunk szempontjából nem használható, eszerint a szabályos háromszög alapidom keresett oldalhosszára nézve egyértelműen | | (4) |
II. Az 1527. feladatban az egyenes hasáb alapháromszögének oldalai voltak , , , és a hasáb szabályos háromszög alakú (ferde) metszetének oldalára kapott eredmény (4)-től csak a négyzetgyök előjelében tér el. Eszerint az a érték ‐ bár kissé más összefüggésekből kaptuk ‐ számértékben egyenlő (2)-nek a nagyobbik gyökével.
Draschitz Rudolf (Budapest, Landler J. Gépip. Techn.) |
Nagy Zsigmond (Budapest, Kaffka M. Gimn.) |
|
|