|
Feladat: |
1614. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barra K. , Bencze Júlia , Draschitz R. , Göndőcs F. , Hárs L. , Katona V. , Lempert L. , Lengyel Tamás , Martoni V. , Nagy András (Bp. Toldy) , Nagy Dénes , Sax Gy. , Schván P. , Suhajda S. |
Füzet: |
1970/március,
99 - 100. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/május: 1614. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A körhöz -ből húzott, általunk választott érintőt jelöljük -fel. Ezt az háromszög tengelyére tükrözve az -ből -hoz húzott érintőt kapjuk. Ha -re azt a körüli forgatást alkalmazzuk, amely -t -ba viszi, ismét -nak egy -ból húzott érintőjébe megy át, jelöljük ezt -vel.
1. ábra Vigye a érintési pontot a tükrözés -be, a forgatás -be. Ekkor a háromszög körüljárása megegyezik a háromszögével, és mindkettő körüljárása ellentétes a háromszög körüljárásával. A és pontok tehát nem lehetnek azonosak: az és érintők különbözőek, ezek az -ból -hoz húzható érintők. Mivel -et nem metszheti -n kívüli pontban, -hez csak -t választhatjuk a feladat szerint, amint ezt jelöléseinkben már figyelembe is vettük. Vigye át az előbb említett forgatás az pontot -be: ez a pont a körüli, sugarú körön is és az forgatásából származó érintőn is rajta van. Az és szakaszok a kör ugyanakkora középponti szöghöz tartozó húrjai, tehát egyenlőek. Mivel , felezi az , szakaszt, tehát , amint azt bizonyítanunk kellett. II. Fenti meggondolásunkból az is következik, hogy egyenlő az és szakaszok különbségével, hiszen ha pl. , akkor
| |
2. ábra Az pont így rajta van azon a hiperbolán, melynek és a két fókusza és két csúcsa az , pontoknak az egyenesen levő , vetülete: a kívánt szerkesztés tehát a megfelelő átbetűzések után a fenti ábra rekonstrukciójából áll: az , fókuszok szerepét az és pontok, az csúcsét az vetület és a körét az háromszög köré írható kör veszi át, tehát a körnek és az szakasz felező merőlegesének a metszéspontjaként szerkeszthető. Az pontot -ból az egyenesre való visszavetítéssel kapjuk meg, -et (és -re vonatkozó tükörképét) pedig a körüli, sugarú kör metszi ki -ból. Mivel két pontban metszi a tengelyt az egyenes két oldalán, így mind a négy metszéspontot előállíthatjuk. |
|