Kezdőlap


Feladat:	1614. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barra K. , Bencze Júlia , Draschitz R. , Göndőcs F. , Hárs L. , Katona V. , Lempert L. , Lengyel Tamás , Martoni V. , Nagy András (Bp. Toldy) , Nagy Dénes , Sax Gy. , Schván P. , Suhajda S.
Füzet:	1970/március, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1614. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A $k$ körhöz $B$ -ből húzott, általunk választott érintőt jelöljük $f$ -fel. Ezt az $A B C$ háromszög $t$ tengelyére tükrözve az $A$ -ből $k$ -hoz húzott $e'$ érintőt kapjuk. Ha $f$ -re azt a $C$ körüli $φ$ forgatást alkalmazzuk, amely $B$ -t $A$ -ba viszi, ismét $k$ -nak egy $A$ -ból húzott érintőjébe megy át, jelöljük ezt $e$ -vel.

1. ábra

Vigye a

T^{*}

érintési pontot a tükrözés

T'

-be, a forgatás

T

-be. Ekkor a

C T A

háromszög körüljárása megegyezik a

C T^{*} B

háromszögével, és mindkettő körüljárása ellentétes a

C T' A

háromszög körüljárásával. A

T

és

T'

pontok tehát nem lehetnek azonosak: az

e

és

e'

érintők különbözőek, ezek az

A

-ból

k

-hoz húzható érintők. Mivel

f

-et

e'

nem metszheti

t

-n kívüli pontban,

f

-hez csak

e

-t választhatjuk a feladat szerint, amint ezt jelöléseinkben már figyelembe is vettük.
Vigye át az előbb említett

φ

forgatás az

M

pontot

M_{1}

-be: ez a pont a

C

körüli,

C M

sugarú

k_{1}

körön is és az

f

forgatásából származó

e

érintőn is rajta van. Az

A_{1} B_{1}

és

M M_{1}

szakaszok a

k_{1}

kör ugyanakkora középponti szöghöz tartozó húrjai, tehát egyenlőek. Mivel

C T ⊥ e

T

felezi az

M M_{1}

, szakaszt, tehát

M T + M T^{*} = 2 M T = M M_{1} = A_{1} B_{1}

, amint azt bizonyítanunk kellett.
II. Fenti meggondolásunkból az is következik, hogy

A_{1} B_{1}

egyenlő az

A M

és

B M

szakaszok különbségével, hiszen ha pl.

A M < B M

, akkor

\begin{matrix} B M - A M = (B T^{*} + T^{*} M) - (A T - M T) = M T + T^{*} M = A_{1} B_{1} . \end{matrix}

2. ábra

M

pont így rajta van azon a hiperbolán, melynek

A

és

B

a két fókusza és két csúcsa az

A_{1}

B_{1}

pontoknak az

A B

egyenesen levő

A_{2}

B_{2}

vetülete: a kívánt szerkesztés tehát a megfelelő átbetűzések után a fenti ábra rekonstrukciójából áll: az

F_{1}

F_{2}

fókuszok szerepét az

A

és

B

pontok, az

A

csúcsét az

A_{2}

vetület és a

k

körét az

A B C

háromszög köré írható

k_{1}

kör veszi át,

C

tehát a

k

körnek és az

F_{1} F_{2}

szakasz

t

felező merőlegesének a metszéspontjaként szerkeszthető. Az

A_{1}

pontot

A

-ból az

F_{1} C

egyenesre való visszavetítéssel kapjuk meg,

M

-et (és

t

-re vonatkozó tükörképét) pedig a

C

körüli,

C A_{1}

sugarú kör metszi ki

k

-ból. Mivel

k

két pontban metszi a

t

tengelyt az

A F_{1}

egyenes két oldalán, így mind a négy metszéspontot előállíthatjuk.