Kezdőlap


Feladat:	1612. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berács J. , Fischer Ágnes , Futó Ilona , Gegesy F. , Gutori L. , Göndőcs Ferenc , Hárs L. , Katona V. , Komjáth P. , Koren A. , Lengyel Tamás , Maróti P. , Nagy D. , Nagy Zs. , Papp Z. , Sax Gy. , Tél T. , Terjéki József , Viszkei Gy.
Füzet:	1969/április, 150 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Barátságos számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1612. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1205. gyakorlatban¹ végzett számításhoz hasonlóan általában belátható, hogy ha az $N$ szám prímtényezős felbontása

\begin{matrix} N = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot ... \cdot p_{k}^{a_{k}}, \end{matrix}

ahol

p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}

különböző prímszámok és

a_{1}, a_{2} ..., a_{k}

pozitív egész számok, akkor

N

osztóinak összege, saját magát is közéjük értve

\begin{matrix} S_{N} = (1 + p_{1} + p_{1}^{2} + ... + p_{1}^{a_{1}}) (1 + p_{2} + p_{2}^{2} + ... + p_{2}^{a_{2}}) \cdot ... \cdot (1 + p_{k} + p_{k}^{2} + ... + p_{k}^{a_{k}}) . \end{matrix}

A definíció szerint az

N

és

M

számok barátságos számpárt alkotnak, ha

\begin{matrix} S_{N} - N = M, S_{M} - M = N, \end{matrix}

azaz, ha

\begin{matrix} S_{N} = S_{M} = N + M . \end{matrix}

(3)

Az (1) számpár esetében

S_{A} = S_{B}

mindenesetre teljesül, hacsak

p_{1}

és

p_{2}

7

71

17

31

-től különböző prímek, hiszen

A

és

B

első két-két tényezője azonos, ennélfogva ugyanez áll

S_{A}

és

S_{B}

első két-két tényezőjére, a további kettőre pedig

\begin{matrix} (1 + 7) (1 + 71) = (1 + 17) (1 + 31) = 576 = 2^{6} \cdot 3^{2} . \end{matrix}

Eszerint olyan

p_{1}

p_{2}

a

számokat keresünk, amelyekre (3) szerint

\begin{matrix} S_{A} = S_{B} = (1 + p_{1} + p_{1}^{2} + ... + p_{1}^{a}) (1 + p_{2}) \cdot 2^{6} \cdot 3^{2} = A + B = p_{1}^{a} \cdot p_{2} (7 \cdot 71 + 17 \cdot 31) = p_{1}^{a} \cdot p_{2} \cdot 2^{10}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (1 + p_{1} + p_{1}^{2} + ... + p_{1}^{a}) (1 + p_{2}) \cdot 3^{2} = p_{1}^{a} p_{2} \cdot 2^{4} . \end{matrix}

A bal oldal osztható

3^{2}

-nel, ez a jobb oldal felbontása miatt csak

p_{1} = 3

és

a ≧ 2

mellett teljesül, amennyiben még a

\begin{matrix} p_{2} = \frac{3^{2} (1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{a})}{2^{4} \cdot 3^{a} - 3^{2} (1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{a})} = \frac{1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{a}}{2^{4} \cdot 3^{a - 2} - (1 + 3 + ... + 3^{a})} \end{matrix}

(4)

kifejezés törzsszámot ad. Ennek értéke

a = 2

esetén nem egész szám,

a = 3

esetén

5

, tehát az

\begin{matrix} A = 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 71 = 67 095 és B = 3^{3} \cdot 5 \cdot 17 \cdot 31 = 71 145 \end{matrix}

számok kívánt alakú barátságos számpárt alkotnak.
A (2) pár esetében hasonlóan olyan

p_{3}

p_{4}

p_{5}

prímeket kell keresnünk, amelyekre

S_{C} = S_{D}

alapján, közös tényezőiket mindjárt elhagyva

\begin{matrix} (1 + 79) (1 + p_{3}) = (1 + p_{4}) (1 + p_{5}), \end{matrix}

(5)

továbbá az

S_{C} = C + D

feltételből:

\begin{matrix} (1 + 3 + 3^{2}) (1 + 5) (1 + 13) (1 + 79) (1 + p_{3}) = 3^{2} \cdot 5 \cdot 13 (79 p_{3} + p_{4} p_{5}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 2^{6} \cdot 7 (1 + p_{3}) = 3 (79 p_{3} + p_{4} p_{5}), \end{matrix}

(6)

végül, amelyek

3

-tól,

5

-től,

13

-tól és

79

-től különbözők (nem lehet pl.

p_{4} = 79

sem, különben

C = D

, nem számpárt kapnánk).

p_{3}

értékét megválasztva keresünk a (6)-ból adódó

\begin{matrix} p_{4} p_{5} = \frac{448 + 221 p_{3}}{3} = 149 + 70 p_{3} + \frac{1 + p_{3}}{3} \end{matrix}

(7)

kifejezésre olyan értéket, amely olyan két megengedett törzsszám szorzatára bontható, amelyekkel (5) is teljesül. A harmadik tag miatt elég

2

-vel és a

6 k - 1

alakú prímekkel próbálkozni.

p_{3} = 2

11

17

és

23

esetén a felbontásban rendre föllép az

5

-ös,

13

-as,

5

-ös, ill.

3

-as tényező, végre

p_{3} = 29

esetén (7) értéke

2189 = 11 \cdot 199

, az utóbbi tényező is prím, és

p_{4} = 11

p_{5} = 199

esetén teljesül (5). Eszerint

\begin{matrix} C = 3^{2} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 79 \cdot 29 = 1 340 235 és \\ D = 3^{2} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 199 = 1 280 565 \end{matrix}

egy kívánt alakú barátságos számpár tagjai.

Terjéki József (Kiskunfélegyháza, Petőfi S. Gimn., III. o. t. )
Fischer Ágnes (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t. )

Megjegyzések. 1. Megmutatjuk, hogy sem az (1), sem a (2) követelményt nem elégíti ki további számpár. Az ismert

\begin{matrix} 1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{a} = \frac{3^{a + 1} - 1}{3 - 1} = \frac{27 \cdot 3^{a - 2} - 1}{2} \end{matrix}

összeg-képlet alapján (4) így alakítható tovább:

\begin{matrix} p_{2} = \frac{27 \cdot 3^{a - 2} - 1}{(32 - 27) \cdot 3^{a - 2} + 1} = 6 - \frac{3 \cdot 3^{a - 2} + 7}{5 \cdot 3^{a - 2} + 1}, \end{matrix}

ezért

p_{2} < 6

, másrészt a tört kifejezés értéke egész, számlálója nem kisebb a nevezőnél:

\begin{matrix} - 2 \cdot 3^{a - 2} + 6 ≧ 0, a - 2 ≦ 1, a ≦ 3. \end{matrix}

C

D

pár esetében (5)-ből és (7)-ből

\begin{matrix} p_{4} + p_{5} = 80 (1 + p_{3}) - p_{4} p_{5} - 1 = \frac{29 p_{3} - 211}{3} = 10 p_{3} - 70 - \frac{1 + p_{3}}{3}, \end{matrix}

(8)

tehát

p_{4}

p_{5}

, az

\begin{matrix} u^{2} - d u + e = 0 \end{matrix}

(9)

egyenlet gyökei, ahol

d = p_{4} + p_{5}

e = p_{4} p_{5}

. Legyen még

p_{4} < p_{5}

. Nem lehet

p_{4} = 7

, mert így (6) jobb oldala csak

p_{3} = 7 = p_{4}

esetén lehet egyenlő a bal oldallal, ami

7

többszöröse, ezért

p_{4} ≧ 11

és (9)-ből

\begin{matrix} p_{4} = \frac{d}{2} - \sqrt[]{\frac{d^{2}}{4} - e} ≧ 11, \end{matrix}

átrendezve, végül (7)-et és (8)-at felhasználva

\begin{matrix} 121 + e ≧ 11 d, 29 ≧ p_{3} . \end{matrix}

Eszerint fönt minden szóba jövő próbát elvégeztünk

p_{3}

-mal.

Lengyel Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t. )
Göndöcs Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t. )

2. A (4) kifejezés, a mértani sort összegezve és

2

-vel bővítve így alakítható

\begin{matrix} p_{2} = \frac{3^{a + 1} - 1}{2^{5} \cdot 3^{a - 2} - 3^{a + 1} + 1} = \frac{3^{a + 1} - 1}{5 \cdot 3^{a - 2} + 1} = \\ = \frac{5 (5 \cdot 3^{a - 2} + 1) + 2 \cdot 3^{a - 2} - 6}{5 \cdot 3^{a - 2} + 1} = 5 + \frac{2 \cdot 3^{a - 2} - 6}{5 \cdot 3^{a - 2} + 1} . \end{matrix}

Az utolsó alak szerint ez egyedül

a = 3

-ra egész, mert különben a tört abszolút értéke kisebb

1

-nél.

¹K. M. L. 37 (1968) 218. o.