Kezdőlap


Feladat:	1611. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz Beáta , Barra K. , Berács J. , Bogár D. , Csetényi A. , Fischer Ágnes , Gegesy F. , Göndőcs F. , Hárs L. , Katona V. , Kemény A. , Kóczy L. , Lempert L. , Lengyel T. , Maróti P. , Martoni V. , Máthé Marianna , Nagy Dénes , Nagy Zsimond , Nikodémusz Anna , Papp Z. , Sax Gy. , Szabó Zsolt , Tél T. , Terjéki J. , Turi A. , Zambó Péter
Füzet:	1969/február, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1611. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk a sorozat általános tagját így:

\begin{matrix} a (t) = \frac{1}{4} [{(2 t - 5)}^{2} - 1], \end{matrix}

(1)

ekkor az

a (t)

a (u)

a (v)

számok számtani sorozat voltát biztosító

\begin{matrix} a (t) + a (v) = 2 a (u) \end{matrix}

(2)

összefüggés ilyen alakra hozható:

\begin{matrix} {(2 t - 5)}^{2} + {(2 v - 5)}^{2} = 2 {(2 u - 5)}^{2} . \end{matrix}

(3)

Itt mindegyik alap páratlan, így

2

-vel osztva és az

\begin{matrix} \frac{1}{2} (A^{2} + B^{2}) = {(\frac{A - B}{2})}^{2} + {(\frac{A + B}{2})}^{2} \end{matrix}

átalakítást alkalmazva a

\begin{matrix} {(v - t)}^{2} + {(v + t - 5)}^{2} = {(2 u - 5)}^{2} \end{matrix}

pitagoraszi egyenletet kapjuk. Bevezetve az

\begin{matrix} x = v - t, y = v + t - 5, z = 2 u - 5 \end{matrix}

jelöléseket, az

x

y

z

pitagoraszi számhármas akkor felel meg követelményeinknek, ha a befogók különbsége

\begin{matrix} y - x = 2 t - 5, \end{matrix}

ahol

2 t - 5

az előre adott

t

egész számból származó páratlan szám, és ekkor a keresett

u

v

számok

\begin{matrix} u = \frac{z + 5}{2}, v = \frac{x + y + 5}{2} \end{matrix}

alakban adhatók meg. Ezek egészek, mert

x

y

egyike páros, másika páratlan, ezért egyrészt

x + y

, másrészt a pitagoraszi egyenlet miatt

z

is páratlan.
Eszerint a legismertebb pitagoraszi számhármas,

\begin{matrix} x = 3 k, y = 4 k, z = 5 k, \end{matrix}

(5)

eleget tesz ezeknek a követelményeknek, ha

\begin{matrix} k = y - x = 2 t - 5. \end{matrix}

Innen az

u

v

párra a következő előállítást kapjuk:

\begin{matrix} u = \frac{z + 5}{2} = \frac{5 k + 5}{2} = \frac{10 t - 25 + 5}{2} = 5 t - 10, \\ v = \frac{x + y + 5}{2} = \frac{7 k + 5}{2} = \frac{14 t - 35 + 5}{2} = 7 t - 15. \end{matrix}

Így tetszőleges

t

egész számhoz megadtunk egy megfelelő

u

v

egész számpárt, és ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Megjegyzések. 1. Megoldásunk alapján a feladat állítása úgy is fogalmazható, hogy tetszőleges páratlan számhoz megadható egész oldalakkal bíró derékszögű háromszög, melyben a befogók különbsége az előre adott számmal egyenlő.
2. Újabb

u

v

számpárt kapunk az

a (t)

függvény

\begin{matrix} a (t) = a (5 - t) \end{matrix}

tulajdonsága alapján. A már előállított

u

v

értékek helyett tehát vehetjük az

\begin{matrix} u' = 5 - (5 t - 10) = - 5 t + 15, \\ v' = 5 - (7 t - 15) = - 7 t + 20 \end{matrix}

számpárt, továbbá az

(u, v')

(u', v)

párokat is.
3. Természetesen úgy is kaphatunk újabb előállítást az

u

v

számpárra, ha

(5)

helyett más alkalmas pitagoraszi számhármasból indulunk ki (ti. olyanból, amelynek alapmegoldásában a befogók szomszédos egész számok). Így megfelel pl. az

\begin{matrix} x = 20 k, y = 21 k, z = 29 k \end{matrix}

(

5'

)

számhármas is, melyből az

\begin{matrix} u = 29 t - 70, v = 41 t - 100 \end{matrix}

számpárt kapjuk.
4. A feladat hasonlóan megoldható,

a (t)

-nek tetszés szerinti

t^{2} + p t + q

másodfokú polinomot véve, ahol

p

egész.