|
Feladat: |
1611. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Backhausz Beáta , Barra K. , Berács J. , Bogár D. , Csetényi A. , Fischer Ágnes , Gegesy F. , Göndőcs F. , Hárs L. , Katona V. , Kemény A. , Kóczy L. , Lempert L. , Lengyel T. , Maróti P. , Martoni V. , Máthé Marianna , Nagy Dénes , Nagy Zsimond , Nikodémusz Anna , Papp Z. , Sax Gy. , Szabó Zsolt , Tél T. , Terjéki J. , Turi A. , Zambó Péter |
Füzet: |
1969/február,
59 - 60. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számtani sorozat, Számsorozatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/május: 1611. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Írjuk a sorozat általános tagját így: ekkor az , , számok számtani sorozat voltát biztosító összefüggés ilyen alakra hozható: | | (3) | Itt mindegyik alap páratlan, így -vel osztva és az | | átalakítást alkalmazva a pitagoraszi egyenletet kapjuk. Bevezetve az jelöléseket, az , , pitagoraszi számhármas akkor felel meg követelményeinknek, ha a befogók különbsége ahol az előre adott egész számból származó páratlan szám, és ekkor a keresett , számok alakban adhatók meg. Ezek egészek, mert , egyike páros, másika páratlan, ezért egyrészt , másrészt a pitagoraszi egyenlet miatt is páratlan. Eszerint a legismertebb pitagoraszi számhármas, eleget tesz ezeknek a követelményeknek, ha Innen az , párra a következő előállítást kapjuk:
Így tetszőleges egész számhoz megadtunk egy megfelelő , egész számpárt, és ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. Megjegyzések. 1. Megoldásunk alapján a feladat állítása úgy is fogalmazható, hogy tetszőleges páratlan számhoz megadható egész oldalakkal bíró derékszögű háromszög, melyben a befogók különbsége az előre adott számmal egyenlő. 2. Újabb , számpárt kapunk az függvény tulajdonsága alapján. A már előállított , értékek helyett tehát vehetjük az
számpárt, továbbá az , párokat is. 3. Természetesen úgy is kaphatunk újabb előállítást az , számpárra, ha helyett más alkalmas pitagoraszi számhármasból indulunk ki (ti. olyanból, amelynek alapmegoldásában a befogók szomszédos egész számok). Így megfelel pl. az számhármas is, melyből az számpárt kapjuk. 4. A feladat hasonlóan megoldható, -nek tetszés szerinti másodfokú polinomot véve, ahol egész. |
|