Kezdőlap


Feladat:	1610. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálványos Z. , Bogár Dezső , Csetényi A. , Faragó I. , Géczy István , Gegesy F. , Göndőcs F. , Hárs L. , Jánossy D. , Kóczy L. , Komjáth P. , Koren A. , László I. , Lempert L. , Lengyel T. , Maróti P. , Nagy András (III. o.) , Nagy D. , Nagy Zs. , Nikodémusz A. , Papp Z. , Sailer K. , Sax Gy. , Szamosújvári S. , Tél T. , Terjéki J.
Füzet:	1969/január, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1610. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük (1) két oldalának közös értékét röviden $z$ -vel. Így a bal oldal első tagja $z + 1$ , és a logaritmus értelmezése szerint

\begin{matrix} x y + 4 = 2^{z + 1}, x^{2} + y^{2} + 2 = 3^{z} . \end{matrix}

(2) behelyettesítése után

x

is könnyen kiküszöbölhető a rendszerből:

\begin{matrix} x^{2} - x = 2^{z + 1} - 4, 2 x^{2} - 2 x = 3^{z} - 3, \end{matrix}

(3)

tehát a második egyenlet jobb oldala 2-szer akkora, mint az elsőé:

\begin{matrix} 3^{z} - 3 = 2 (2^{z + 1} - 4), \\ 3^{z} = 2^{z + 2} - 5. \end{matrix}

Eszerint

z

-t megadja a derékszögű

z

u

koordinátarendszerben felrajzolt

u = 3^{z}

görbe, valamint a balra 2 és lefelé 5 egységgel eltolt

u = 2^{z}

görbe közös pontjának abszcisszája (1. ábra).

1. ábra

Két közös pontot találunk:

z = 1

és

z = 3

fölött.
Mármost

z = 1

esetén (3)-ból

\begin{matrix} x^{2} - x = 0, \end{matrix}

és így, (2)-t is figyelembe véve

\begin{matrix} x_{1} = 0, y_{1} = - 1; x_{2} = 1, y_{2} = 0; \end{matrix}

z = 3

esetén pedig hasonlóan

\begin{matrix} x_{3} = - 3, y_{3} = - 4; x_{4} = 4, y_{4} = 3. \end{matrix}

Mind a négy értékpár valóban kielégíti az eredeti egyenletrendszert.

Bogár Dezső (Tatabánya, Árpád Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Csak alakilag különböző megoldást kapunk, ha megmaradunk a logaritmusoknál. (2)-t felhasználva (1) a következő alakot ölti:

\begin{matrix} log_{2} (x^{2} - x + 4) - 1 = log_{3} [2 (x^{2} - x) + 3], \end{matrix}

eszerint a mindkét oldalon fellépő

\begin{matrix} x^{2} - x = t \end{matrix}

(4)

kifejezésnek olyan értékeit keressük, amelyekre a

\begin{matrix} log_{2} (t + 4) - 1 és log_{3} (2 t + 3) \end{matrix}

függvények értéke megegyezik. Az ilyen

t

értékekhez a megfelelő

x

értékeket (4)-ből már könnyen megkapjuk,

y

-t pedig (2)-ből.

2. ábra

A két függvényt ábrázolva (2. ábra)

t = 0

-nál és

t = 12

-nél találunk közös értékeket (1, ill. 3), az ezekhez tartozó

x

és

y

értékek pedig:

\begin{matrix} \begin{matrix} t & 0 & 12 \\ x & 0 & 1 & - 3 & 4 \\ y & - 1 & 0 & - 4 & 3 \end{matrix} \end{matrix}

Géczy István (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.)

2. A megoldás egyik változatában sem bizonyítottuk be, hogy a 2‐2 görbének nincs több metszéspontja, mert ehhez az iskolában tanultak nem adnak megfelelő alapot.