Kezdőlap


Feladat:	1609. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krasznai András , Pető János
Füzet:	1968/december, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1609. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét adott egyenlet bal oldala könnyen szorzattá alakítható. Ugyanis pl. $y$ -t paraméternek tekintve az egyenletek így írhatók:

\begin{matrix} 8 x^{2} - 2 (13 y - 58) x = - (15 y^{2} - 150 y + 360), & (1') \\ 8 x^{2} + 6 (3 y + 10) x = 9 (2 y^{2} - 5 y - 12), & (2') \end{matrix}

és ezek felét véve mindkét oldal teljes négyzetté egészíthető ki.

(1')

-ből:

\begin{matrix} {(2 x - \frac{13 y - 58}{4})}^{2} = {(\frac{13 y - 58}{4})}^{2} - \frac{1}{2} (15 y^{2} - 150 y + 360) = {(\frac{7 y - 22}{4})}^{2}, \end{matrix}

eszerint

\begin{matrix} {(\frac{8 x - 13 y + 58}{4})}^{2} - {(\frac{7 y - 22}{4})}^{2} = \frac{1}{2} (2 x - 5 y + 20) (4 x - 3 y + 18) = 0, \end{matrix}

(

1''

)

és hasonlóan

(2')

így alakul:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (4 x - 3 y + 12) (2 x + 6 y + 9) = 0. \end{matrix}

(

2''

)

Mind

(1'')

, mind

(2'')

kétféleképpen teljesülhet aszerint, hogy a bal oldal első, ill. második tényezője 0. E feltételek párba állításával 4 elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk:

\begin{matrix} I. {\begin{matrix} 2 x - 5 y + 20 = 0, \\ 4 x - 3 y + 12 = 0; \end{matrix} II. {\begin{matrix} 2 x - 5 y + 20 = 0, \\ 2 x + 6 y + 9 = 0; \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} III. {\begin{matrix} 4 x - 3 y + 18 = 0, \\ 4 x - 3 y + 12 = 0; \end{matrix} IV. {\begin{matrix} 4 x - 3 y + 18 = 0, \\ 2 x + 6 y + 9 = 0. \end{matrix} \end{matrix}

A III. rendszer ellentmondó, a többi háromból rendre egy-egy értékpárt kapunk:

I. x = 0, y = 4; II. x = - 7, 5, y = 1; IV. x = - 4, 5, y = 0.

Krasznai András (Gyöngyös, Vak Bottyán Gimn., III. o. t.)
Pető János (Budapest, Kölcsey F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az (1) és (2) egyenlet képe a derékszögű koordinátarendszerben egy-egy metsző egyenespár.

2. Természetesen a fenti előkészítő számítást végezzük akkor is, ha

(1')

-t,

(2')

-t

x

-re megoldani kívánva képezzük a diszkriminánst és azt mindkét esetben teljes négyzetnek találjuk; hiszen a gyökképletet is teljes négyzetté alakítással képeztük.