Kezdőlap


Feladat:	1608. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boda S. , Dettai I. , Draschitz R. , Forrás L. , Gegesy F. , Hárs L. , Karvaly G. , Katona V. , Kovalszky Róbert , Lengyel T. , Martoni V. , Máthé Mariann , Nagy A. , Nagy D. , Németh T. , Papp Z. , Szabó L. S. , Tél T. , Váli L.
Füzet:	1968/november, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 1608. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Májusban a Nap az északi félgömbnek $23, 5^{\circ}$ -nál kisebb szélességű pontjai fölött halad, ezért az $A$ -beli torony árnyéka délben biztosan dél felé vetődik. Legyen $A$ földrajzi szélessége $- φ$ (déli sz.), a tornyok közös magassága $m$ , ekkor az árnyék hossza $m tg (15^{\circ} + φ)$ , mert a napsugarak az $A$ -beli függőlegessel $15^{\circ} + φ$ szöget zárnak be.
$B$ -ben az árnyék mutathat északra is, ha ti. a hely $+ φ$ északi szélessége nagyobb $15^{\circ}$ -nál (1. ábra), és mutathat délre is, ha $φ < 15^{\circ}$ (2. ábra).

1. ábra

2. ábra

A torony és árnyéka által meghatározott derékszögű háromszögnek a torony csúcsánál levő szöge az első esetben

φ_{1} - 15^{\circ}

, a másodikban

15^{\circ} - φ_{2}

, így a

φ

meghatározására szolgáló egyenlet

\begin{matrix} m tg (φ_{1} + 15^{\circ}) & = 3 m tg (φ_{1} - 15^{\circ}), ill. & (1) \\ m tg (φ_{2} + 15^{\circ}) & = 3 m tg (15^{\circ} - φ_{2}) . & (2) \end{matrix}

Az addíció tétel alkalmazásával, majd figyelembe véve, hogy egyszerű számítás szerint

tg 15^{\circ} = 2 - \sqrt[]{3}

, (1)-ből:

\begin{matrix} 2 tg 15^{\circ} \cdot {tg}^{2} φ_{1} - (1 + {tg}^{2} 15^{\circ}) tg φ_{1} + 2 tg 15^{\circ} = 0. \end{matrix}

A diszkrimináns

\begin{matrix} D_{1} = {(1 + {tg}^{2} 15^{\circ})}^{2} - 16 {tg}^{2} 15^{\circ} = {(8 - 4 \sqrt[]{3})}^{2} - 16 (7 - 4 \sqrt[]{3}) = 0, \end{matrix}

így

\begin{matrix} tg φ_{1} = \frac{1 + {tg}^{2} 15^{\circ}}{4 tg 15^{\circ}} = 1, φ_{1} = 45^{\circ} . \end{matrix}

(2)-ből hasonlóan

\begin{matrix} tg 15^{\circ} \cdot {tg}^{2} φ_{2} - 2 (1 + {tg}^{2} 15^{\circ}) tg φ_{2} + tg 15^{\circ} = 0, \\ D_{2} / 4 = {(1 + {tg}^{2} 15^{\circ})}^{2} - {tg}^{2} 15^{\circ} = (112 - 64 \sqrt[]{3}) - (7 - 4 \sqrt[]{3}) = \\ = 105 - 60 \sqrt[]{3} = 15 (7 - 4 \sqrt[]{3}) = {[\sqrt[]{15} (2 - \sqrt[]{3})]}^{2}, \\ tg φ_{2} = \frac{(8 - 4 \sqrt[]{3}) \pm \sqrt[]{15} (2 - \sqrt[]{3})}{2 - \sqrt[]{3}} = 4 \pm \sqrt[]{15}, \end{matrix}

és mivel az egyenletet a

φ_{2} < 15^{\circ}

föltétellel állítottuk fel,

tg φ_{2} = 4 - \sqrt[]{15} = 0, 1270

φ_{2} = 7^{\circ} 14'

.
A

45^{\circ}

déli szélességi körön kevés a szárazföld: csak Chilében és Argentínában van, a nyugati hosszúság

66^{\circ}

és

74^{\circ}

-a között. Itt lehet

A

, mert ennek a szakasznak az Egyenlítő síkjára való tükörképe Kanada és az USA határvidékén, Montrealtól kissé keletre van, szintén szárazföld.
Hasonlóan a

7^{\circ} 14'

déli és északi szélességű körök szárazföldi íveit egybevetve az

A

hely egyrészt az

58^{\circ}

és

78^{\circ}

nyugati hosszúságú délkörök között, Peru nyugati partjaitól kb. a brazíliai Tapajós folyóig terjedő íven lehet, továbbá Afrikában, a keleti hosszúságú

13^{\circ}

-os és

39^{\circ}

-os délkörök között, kb. Luanda és Dar ės Salaam (Angola, ill. Tanzánia fővárosa) közötti íven.

Kovalszky Róbert (Budapest, Landler J. Gimnázium)