A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Válasszuk koordináta-rendszerünk tengelyeinek a , egyeneseket és legyenek a koordináták , , így , az egyenes tetszőleges pontja , ahol tetszőleges valós szám, a egyenes egyenlete pedig hacsak , azaz ha nem azonos -val; ezt egyelőre feltesszük. Másrészt az egyenes egyenlete és így az metszéspont abszcisszája ha . A esetben a pontban, -nak -re való tükörképében van, párhuzamos -vel, nem jön létre és persze sem. A egyenes egyenlete és a szerkesztés szerint ennek az (1) abszcisszájú pontja, tehát ordinátája és innen (1) alapján kiküszöbölésével koordinátái között a következő összefüggés adódik: Ez az összefüggés a fent kihagyott esetben is érvényes, hiszen akkor -n kívül és is -ban adódik, és koordinátáival teljesül (2). Azt kaptuk tehát, hogy az egyetlen pont kivételével az egyenes minden pontjához tartozik az előírás szerint szerkesztett pont, és ennek koordinátáira mindig teljesül (2). Ez az összefüggés parabola egyenlete, melynek csúcsa a pont, csúcsérintője a egyenes és a parabola egy pontja . (Könnyű belátni azt is, hogy a parabola fókusza a -ben -re és -ben -ra emelt merőlegesek metszéspontja.)
Fordítva, meg kell vizsgálnunk, hogy a (2) parabola mely pontjai tartoznak hozzá a keresett mértani helyhez. Legyen olyan pont, melyre teljesül (2). Ez csak az (1)-bó1 adódó -értékhez tartozó pontból származhat, és -ből a fentiek szerint valóban visszakapjuk -t, hacsak , hiszen (1) értéke nem lehet . A parabolának tehát csak az abszcisszán levő pontja nem tartozik hozzá a keresett mértani helyhez, más szóval: a mértani helyet a (2) parabolából úgy kapjuk, hogy elhagyjuk belőle a pontot. Megjegyzés. Megoldható a feladat a projektív geometria tételei alapján is.
Lásd pl.:Vigassy Lajos: Geometriai transzformációk, Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1963. |