Feladat: 1603. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Draschitz R. ,  Kóczy L. ,  Koren András ,  Kovalszky R. ,  Nagy Zsigmond ,  Váli László 
Füzet: 1970/május, 205 - 206. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Legnagyobb közös osztó, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/április: 1603. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az abszolút érték jelet y és z kifejezésében elhagyhatjuk, hiszen egy számnak és a (-1)-szeresének ugyanazok a számok az osztói. (,,Szám''-on megoldásunk során csak egész számokat értünk.)
Láttuk,* hogy az (1) számnégyesre teljesül

x2+y2+z2=u2,
eszerint akkor és csak akkor van 1-nél nagyobb közös osztójuk, ha közülük bármelyik háromnak van. Elég tehát kizárni annak lehetőségét, hogy az (1) közül választott két szám közös osztója egyszersmind a további két szám egyikének is osztója legyen. Könnyű belátni, hogy ennek szükséges feltétele: m, n, p és q-nak ne legyen 1-nél nagyobb r közös osztója, különben r2 az (1) számok közös osztója lenne. Ez a feltétel azonban nem elegendő, pl. m=7, n=4, p=2, q=4 esetén számaink 60, 40, 45, 85 és közös osztójuk 5 (viszont p és q értékét felcserélve nincs közös osztó).
x és y páros, ezért u-nak páratlannak kell lennie, vagyis m2, n2, p2 és q2 közül egynek vagy háromnak páratlannak kell lennie. Ekkor m2+n2=M és p2+q2=P=u-M ellentétes párosságúak. M és P legnagyobb közös osztóját D-vel jelölve ugyanez a legnagyobb közös osztója z=M-P-nek és u=M+P-nek, és ekkor z és u minden közös osztója a D-nek osztója. Eszerint a feladat követelménye akkor és csak akkor teljesül, ha D-nek és pl. x-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója. Mivel D páratlan, elég vizsgálni x/2-t, tehát az
m2+n2,p2+q2,mp+nq
számoknak nem lehet közös osztója. (Ez magában foglalja azt is, hogy m, n, p, q-nak ne legyen közös osztója.)
 

Nagy Zsigmond (Budapest, Kaffka M. Gimn.)
*Az 1085. gyakorlatban, K. M. L. 35 (1967) 66. o.