Kezdőlap


Feladat:	1602. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona Viktor , Somogyi Kornélia
Füzet:	1968/december, 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 1602. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenleteinket páronként összeadva

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = a + b, {(y + z)}^{2} = b + c, {(z + x)}^{2} = c + a . \end{matrix}

Innen az ismeretlenek páronkénti összegeire két-két érték jön szóba:

\begin{matrix} x + y = \pm \sqrt[]{a + b}, y + z = \pm \sqrt[]{b + c}, z + x = \pm \sqrt[]{c + a}, \end{matrix}

(1)

és a három négyzetgyök előtti előjelet bárhogy megválasztva minden egyes esetben egyértelműen és könnyen megoldható elsőfokú egyenletrendszert kapunk. Áttekinthetőség kedvéért az egyes négyzetgyökök előtti

1

vagy

- 1

szorzót

e_{1}

e_{2}

e_{3}

-mal jelöljük.
Az (1)-beli egyenletek összegének fele

x + y + z

értékét adja meg, s ebből az egyes egyenleteket kivonva mindig megkapjuk a harmadik ismeretlent:

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (e_{1} \sqrt[]{a + b} - e_{2} \sqrt[]{b + c} + e_{3} \sqrt[]{c + a}), \\ y = \frac{1}{2} (e_{1} \sqrt[]{a + b} + e_{2} \sqrt[]{b + c} - e_{3} \sqrt[]{c + a}), \\ z = \frac{1}{2} (- e_{1} \sqrt[]{a + b} + e_{2} \sqrt[]{b + c} + e_{3} \sqrt[]{c + a}) . \end{matrix}

A 3 előjel megválasztása egymástól független, ezért a rendszernek

2^{3} = 8

megoldása lehet. Valóban ennyi a megoldások száma, ha

a + b

b + c

, és

c + a

mindegyike pozitív. Ez a szám mindannyiszor a felére csökken, ahányszor 0 lép fel az összegek között. Ha viszont az összegek között van negatív is, akkor a rendszernek nincs valós megoldása.

Katona VIktor (Heves, Gimn" IV. o. t.).
Somogyi Kornélia (Ajka, Bródy I. Gimn., III, o. t.)

Megjegyzés. Már az eredeti egyenletekből látható, hogy ha a rendszer egy megoldása

x = α

y = β

z = γ

, akkor megoldás az

x = - α

y = - β

z = - γ

értékhármas is.