Kezdőlap


Feladat:	1601. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schván Péter
Füzet:	1968/december, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 1601. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két köbszám különbsége páros, ezért vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan, és így ugyanez áll az alapokra is. Ekkor köztük középen egész szám áll (számtani közepük), legyen ez $a$ , így a két szám $a - k$ és $a + k$ alakban írható, ahol $k$ pozitív egész szám. A feladat feltételei szerint

\begin{matrix} {(a + k)}^{3} - {(a - k)}^{3} = 6 a^{2} k + 2 k^{3} = 2 k (3 a^{2} + k^{2}) = 135 002. \end{matrix}

Egyszerűsítve és a jobb oldali számot törzstényezőkre bontva

\begin{matrix} k (3 a^{2} + k^{2}) = 7 \cdot 9643, \end{matrix}

ahol a második tényező prímszám, mert nem osztható a négyzetgyökénél nem nagyobb prímek ‐ vagyis a 98 alattiak ‐ egyikével sem. Így

k

, mint a jobb oldal osztója, csak 1 vagy 7 lehet.

k = 7

esetén

(9843 - 49) / 3 = 3198

nem négyzetszám,

k = 1

mellett

a^{2} = 22 500

a = \pm 150

, így a kérdéses szám

149

és

- 151

lehet.

Schván Péter (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)