Kezdőlap


Feladat:	1599. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barra K. , Bencze Júlia , Draschitz R. , Farkas Gy. , Fialovszky Alice , Forrás L. , Gulyás A. , Gönczi I. , Hárs L. , Karvaly G. , Katona V. , Kóczy L. , Koren A. , Kovalszky R. , Lempert L. , Lengyel T. , Lukács P. , Martoni V. , Nagy András (Bp. Toldy) , Nagy D. , Nagy Zs. , Németh T. , Papp Z. , Pete A. , Radó P. , Schűgerl Márta , Siklósi M. , Somogyi Kornélia , Tauer R. , Turi A. , Váli L. , Waszlavik L. , Zambó Péter , Zima E.
Füzet:	1969/szeptember, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Körök, Húrnégyszögek, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1599. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak olyan $A B C D = N$ négyszögekkel foglalkozunk, amelyben $M$ és $O$ különböző pontok, különben ugyanis $N_{1}$ az $N$ elfordítottja $O$ körül, $90^{\circ}$ -kal, az a) állítás nyilvánvaló, b)-nek $E$ , $F$ pontjai pedig határozatlanok.

a) Az állításokat mindjárt térbeli elemek felhasználásával bizonyítjuk. Írjunk

g

gömböt

O

körül

O A

sugárral, így

k

g

-nek főköre. Messük

g

-t az

N

síkjára merőleges síkokkal

A C

-n és

B D

-n át a

k_{a}

, ill.

k_{b}

gömbi kis körökben.

k_{a}

-ban az

A C

szakasz átmérő, mert

k_{a}

-nak,

O_{a}

középpontja az

O

-ból az első síkra bocsátott merőleges egyenes talppontja, így benne van

N

síkjában, tehát a két sík

A C

metszésvonalában, másrészt

A

és

C

k_{a}

pontjai, hiszen rajta vannak

g

-n is és a mondott síkon is.
Eszerint

k_{a}

-t

A C

mint tengely körül

N

síkjába forgatva, ez egybeesik a feltevés szerint szerkesztett első,

k^{*}

körrel, és fordítva,

k^{*}

-ot

A C

körül

N

síkjára merőleges állásba forgatva, ez

k_{a}

-ba jut, vagyis

g

felületére. Továbbá

A_{1}

és

C_{1}

abba a két pontba,

M_{1}

-be és

M_{2}

-be jut, ahol az

M

-en átmenő és

N

síkjára merőlegesen álló egyenes

g

-t átdöfi. (

M_{1}

M_{2}

létezik, mert

M

k

belsejében van, hiszen

N

konvex idom.) Az

M_{1} M_{2}

szakaszt

M

felezi, mert

N

síkja

g

-nek szimmetriasíkja.
Értelemszerűen ugyanezek állnak rendre

k_{b}

-re, a feltevés szerint

B D

mint átmérő fölé szerkesztett körre,

k^{* *}

-ra, és a

B_{1}

D_{1}

pontpár merőlegesen elfordított helyzetére. Így pedig

A_{1}

és

C_{1}

, valamint

B_{1}

és

D_{1}

új helyzete páronként egybeesik, mert egy egyenes

g

-t legföljebb

2

pontban metszi (hiszen az egyenesen és

O

-n átmenő sík főkört metszi ki

g

-ből és a döféspont ennek a körnek és az egyenesnek közös pontja).

M

mindkét forgástengelyben benne van, ezért

M A_{1} = M C_{1} = M M_{1} = M M_{2} = M B_{1} = M D_{1}

, s mivel

A_{1}

B_{1}

C_{1}

D_{1}

N

síkjában van,

N_{1}

valóban húrnégyszög, a köréje írt

k_{1}

kör középpontja

M

, és sugara

M A_{1}

:
b) Az

M_{1}

M_{2}

pontpárt az

O M

egyenes körül

N

síkjába forgatva, ezek

g

-n mozdulnak el, hiszen a tengely átmegy

O

-n, ezért

k

kerületére jutnak; másrészt

M

-től mért távolságuk változatlan, hiszen

M

is a forgatás tengelyén van; tehát

M_{1}

és

M_{2}

k_{1}

kerületére jutnak, vagyis

E

-be és

F

-be. És mivel

O M M_{1}

derékszög, azért

O M E ∢

és

O M F ∢

is derékszögek,

E F ⊥ O M

, amint a feladat állítja.
c) Összefoglalva:

N_{1}

húrnégyszög voltának, valamint

E F

és

O M

merőleges helyzetének az a térbeli értelmezése, hogy az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

D_{1}

E

F

pontok a fönti

M_{1}

M_{2}

pontpárnak

3

különböző módon az

N

síkjába való forgatásával álltak elő, és hogy mindhárom forgatás tengelye átmegy

M

-en.

Megjegyzések. 1. A feladat állításai síkbeli meggondolással is bizonyíthatók.
a) Legyen az

A C

és

B D

átmérő fölé írt kör ismét

k^{*}

, ill.

k^{* *}

A_{1} C_{1}

és

A C

k^{*}

-nak egymást

M

-ben metsző szelői, ugyanez áll

A C

-re és

B D

-re a

k

-ban,

B D

-re és

B_{1} D_{1}

-re a

k^{* *}

-ban, így a szelők szeleteinek tétele alapján

\begin{matrix} M A_{1} \cdot M C_{1} = M A \cdot M C = M B \cdot M D = M B_{1} \cdot M D_{1} . \end{matrix}

(1)

Másrészt

A_{1}

és

C_{1}

, valamint

B_{1}

és

D_{1}

, egymás tükrös párjai az őket származtató

A C

, ill.

B D

átlóra, ezért

M C_{1} = M A_{1}

M D_{1} = M B_{1}

, és így (1) alapján

M B_{1} = M A_{1}

, e

4

szakasz egyenlő,

N_{1}

téglalap és a középpontja

M

.
b)

E F

, mint

k

és

k_{1}

közös húrjának egyenese, nyilvánvalóan merőleges a két kör középpontját összekötő egyenesre.
2. A fenti, térbeli bizonyításban azt is kaptuk, hogy az

E F

egyenes átmegy

M

-en,

O M E

derékszögű háromszög. Ez ‐ a síkra szorítkozva ‐ Pitagorasz tételének megfordítása alapján látható be, az eredeti tételt az

O O_{a} M

O_{a} A_{1} M

és

O O_{a} A

derékszögű háromszögekre alkalmazva.
3. A c) kérdésre érkezett válaszok legtöbbje nem értelmezést adott, hanem térbeli kiterjesztést, általánosítást keresett.