|
Feladat: |
1599. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barra K. , Bencze Júlia , Draschitz R. , Farkas Gy. , Fialovszky Alice , Forrás L. , Gulyás A. , Gönczi I. , Hárs L. , Karvaly G. , Katona V. , Kóczy L. , Koren A. , Kovalszky R. , Lempert L. , Lengyel T. , Lukács P. , Martoni V. , Nagy András (Bp. Toldy) , Nagy D. , Nagy Zs. , Németh T. , Papp Z. , Pete A. , Radó P. , Schűgerl Márta , Siklósi M. , Somogyi Kornélia , Tauer R. , Turi A. , Váli L. , Waszlavik L. , Zambó Péter , Zima E. |
Füzet: |
1969/szeptember,
13 - 14. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengely körüli forgatás, Körök, Húrnégyszögek, Gömb és részei, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/március: 1599. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Csak olyan négyszögekkel foglalkozunk, amelyben és különböző pontok, különben ugyanis az elfordítottja körül, -kal, az a) állítás nyilvánvaló, b)-nek , pontjai pedig határozatlanok.
a) Az állításokat mindjárt térbeli elemek felhasználásával bizonyítjuk. Írjunk gömböt körül sugárral, így a -nek főköre. Messük -t az síkjára merőleges síkokkal -n és -n át a , ill. gömbi kis körökben. -ban az szakasz átmérő, mert -nak, középpontja az -ból az első síkra bocsátott merőleges egyenes talppontja, így benne van síkjában, tehát a két sík metszésvonalában, másrészt és a pontjai, hiszen rajta vannak -n is és a mondott síkon is. Eszerint -t mint tengely körül síkjába forgatva, ez egybeesik a feltevés szerint szerkesztett első, körrel, és fordítva, -ot körül síkjára merőleges állásba forgatva, ez -ba jut, vagyis felületére. Továbbá és abba a két pontba, -be és -be jut, ahol az -en átmenő és síkjára merőlegesen álló egyenes -t átdöfi. (, létezik, mert a belsejében van, hiszen konvex idom.) Az szakaszt felezi, mert síkja -nek szimmetriasíkja. Értelemszerűen ugyanezek állnak rendre -re, a feltevés szerint mint átmérő fölé szerkesztett körre, -ra, és a , pontpár merőlegesen elfordított helyzetére. Így pedig és , valamint és új helyzete páronként egybeesik, mert egy egyenes -t legföljebb pontban metszi (hiszen az egyenesen és -n átmenő sík főkört metszi ki -ből és a döféspont ennek a körnek és az egyenesnek közös pontja). mindkét forgástengelyben benne van, ezért , s mivel , , , az síkjában van, valóban húrnégyszög, a köréje írt kör középpontja , és sugara : b) Az , pontpárt az egyenes körül síkjába forgatva, ezek -n mozdulnak el, hiszen a tengely átmegy -n, ezért kerületére jutnak; másrészt -től mért távolságuk változatlan, hiszen is a forgatás tengelyén van; tehát és a kerületére jutnak, vagyis -be és -be. És mivel derékszög, azért és is derékszögek, , amint a feladat állítja. c) Összefoglalva: húrnégyszög voltának, valamint és merőleges helyzetének az a térbeli értelmezése, hogy az , , , , , pontok a fönti , pontpárnak különböző módon az síkjába való forgatásával álltak elő, és hogy mindhárom forgatás tengelye átmegy -en. Megjegyzések. 1. A feladat állításai síkbeli meggondolással is bizonyíthatók. a) Legyen az és átmérő fölé írt kör ismét , ill. . és a -nak egymást -ben metsző szelői, ugyanez áll -re és -re a -ban, -re és -re a -ban, így a szelők szeleteinek tétele alapján | | (1) | Másrészt és , valamint és , egymás tükrös párjai az őket származtató , ill. átlóra, ezért , , és így (1) alapján , e szakasz egyenlő, téglalap és a középpontja . b) , mint és közös húrjának egyenese, nyilvánvalóan merőleges a két kör középpontját összekötő egyenesre. 2. A fenti, térbeli bizonyításban azt is kaptuk, hogy az egyenes átmegy -en, derékszögű háromszög. Ez ‐ a síkra szorítkozva ‐ Pitagorasz tételének megfordítása alapján látható be, az eredeti tételt az , és derékszögű háromszögekre alkalmazva. 3. A c) kérdésre érkezett válaszok legtöbbje nem értelmezést adott, hanem térbeli kiterjesztést, általánosítást keresett. |
|