Kezdőlap


Feladat:	1597. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Závoti József
Füzet:	1968/december, 205 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1597. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert azonosságok alapján a bal oldalt szorzattá, a jobb oldalt hányadossá, majd tovább alakítva (1) így írható:

\begin{matrix} 2 cos x cos 2 x & = \frac{sin 4 x}{2 cos 4 x} = \frac{sin 2 x cos 2 x}{cos 4 x} = \frac{2 sin x cos x cos 2 x}{cos 4 x}, \end{matrix}

és a két oldal különbségét szorzattá alakítva

\begin{matrix} 2 cos x cos 2 x (1 - \frac{sin x}{cos 4 x}) = 0. \end{matrix}

Ez teljesül, ha

\begin{matrix} cos x = 0, azaz x_{1} = (2 k - 1) \cdot 90^{\circ}, és ha \\ cos 2 x = 0, azaz x_{2} = (2 k - 1) \cdot 45^{\circ} \end{matrix}

(ugyanis a nevező mindkét esetben 0-tól különböző); továbbá akkor, ha

\begin{matrix} \frac{sin x}{cos 4 x} = 1, sin x = cos 4 x = sin (90^{\circ} - 4 x) . \end{matrix}

Ez akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} x - (90^{\circ} - 4 x) = k \cdot 360^{\circ}, és ha \\ x + (90^{\circ} - 4 x) = (2 k + 1) 180^{\circ}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x_{3} = (4 k + 1) \cdot 18^{\circ} = 18^{\circ} + k \cdot 72^{\circ}, \\ x_{4} = 30^{\circ} - (2 k + 1) \cdot 60^{\circ} = - 30^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} = (4 k - 1) \cdot 30^{\circ} \end{matrix}

(mindegyik megoldásban

cos 4 x \neq 0

).
Mindezek szerint a

0^{\circ}

360^{\circ}

intervallumban (1)-et a következő értékek elégítik ki:

\begin{matrix} x = 18^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}, 135^{\circ}, 162^{\circ}, 210^{\circ}, 225^{\circ}, 234^{\circ}, 270^{\circ}, 306^{\circ}, 315^{\circ}, 330^{\circ} \end{matrix}

(és ha

x

kielégíti az egyenletet, akkor

x + k \cdot 360^{\circ}

is kielégíti).
A megfelelő szög mozgó szárának az egységkörrel való metszéspontját feltüntetve annak a szabályos ötszögnek és háromszögnek csúcsait kapjuk, melyeknek, egy-egy csúcsa az

y

tengely pozitív felén van, továbbá annak a négyzetnek a csúcsait, melynek oldalai párhuzamosak a tengelyekkel, végül az

y

tengelyen levő átmérő másik végpontját (1. ábra).

1. ábra

Závoti József (Székesfehérvár, Ybl M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés.

x = 18^{\circ}

esetére (1) mindegyik tagja pozitív, az egyenlőség két oldalán a szabályos ötszög szimmetriatengelyének kétféle kifejezése áll (2. ábra).

2. ábra