Kezdőlap


Feladat:	1596. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csetényi Artúr , Kóczy László
Füzet:	1968/december, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1596. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az egyik gyökpár $α$ és $- α,$ a másik $β$ és $- β$ (föltehetjük, hogy $α$ , $β > 0$ , hiszen $x = 0$ nem elégíti ki (1)-et), és a hátra levő két gyök $γ$ , $δ$ . Ekkor (1) bal oldala mint gyöktényezők szorzata:

\begin{matrix} (x^{2} - α^{2}) (x^{2} - β^{2}) (x - γ) (x - δ) = \\ = [x^{4} - (α^{2} + β^{2}) x^{2} + α^{2} β^{2}] [x^{2} - (γ + δ) x + γ δ], & (2) \end{matrix}

és a két kifejezés azonos volta alapján

\begin{matrix} x^{5} együtthatójából & - (γ + δ) = - 2, & (3) \\ x^{4} együtthatójából & γ δ - (α^{2} + β^{2}) = - 9, & (4) \\ x^{3} együtthatójából & (α^{2} + β^{2}) (γ + δ) = 14, & (5) \\ x^{2} együtthatójából & - γ δ (α^{2} + β^{2}) + α^{2} β^{2} = 24, & (6) \\ x együtthatójából & - α^{2} β^{2} (γ + δ) = - 20, & (7) \\ x^{0} együtthatójából & α^{2} β^{2} γ δ = - 20. & (8) \end{matrix}

Óvatosságra int, hogy a (2)-ben szereplő 4 együtthatóra 6 egyenletet kaptunk.
(5)-öt és (7)-et (3)-mal osztva

α^{2} + β^{2} = 7

és

α^{2} β^{2} = 10

, az utóbbival (8)-at osztva

γ δ = - 2

. Ezekkel a föl nem használt (4) és (6) teljesülnek. Továbbmenve

\begin{matrix} α^{2}, β^{2} értéke 2 és 5, γ és δ értéke 1 + \sqrt[]{3} és 1 + \sqrt[]{3}, \end{matrix}

és így az egyenlet gyökei:

\begin{matrix} \sqrt[]{2}, - \sqrt[]{2}, \sqrt[]{5}, - \sqrt[]{5}, 1 + \sqrt[]{3}, 1 - \sqrt[]{3}, \end{matrix}

Csetényi Artur (Kiskunhalas, Szűcs J. Ált. Isk., 8. o. t.)

II. megoldás. A fenti jelöléseket tovább használjuk.

α

és

- α

kielégíti (1)-et, tehát

\begin{matrix} α^{6} - 2 α^{5} - 9 α^{4} + 14 α^{3} + 24 α^{2} - 20 α - 20 = 0, \\ α^{6} + 2 α^{5} - 9 α^{4} - 14 α^{3} + 24 α^{2} + 20 α - 20 = 0, \end{matrix}

eszerint

α

csak olyan szám lehet, amely e két egyenlőség különbségét is kielégíti:

\begin{matrix} 4 α (α^{4} - 7 α^{2} + 10) = 0. \end{matrix}

Nem lehet azonban

α = 0

, mert ez nem gyöke (1)-nek. A leválasztással adódó

\begin{matrix} α^{4} - 7 α^{2} + 10 = 0 \end{matrix}

egyenletből valamilyen sorrendben

α^{2}

β^{2}

értéke

2

és

5

, de sorrendjük lényegtelen.
A megtalált gyökökhöz tartozó gyöktényezők

(x^{2} - 2) (x^{2} - 5) = x^{4} - 7 x^{2} + 10

szorzatával (1) bal oldala (maradék nélkül) osztható és a hányados

x^{2} - 2 x - 2

. Ez azt jelenti, hogy

x_{1, 2} = \pm \sqrt[]{2}

és

x_{3, 4} = \pm \sqrt[]{5}

, valóban gyöke (1)-nek, a további gyökök pedig az

\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 2 = 0 \end{matrix}

(9)

egyenletből

x_{5, 6} = 1 \pm \sqrt[]{3}

Kóczy László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

III. megoldás Legyen továbbra is az egyik gyök pár

α

és

- α

, és mint láttuk,

a \neq 0

, így (1) bal oldala osztható a megfelelő gyöktényezők

\begin{matrix} (x - α) (x + α) = x^{2} - α^{2} = x^{2} - a \end{matrix}

szorzatával, ahol

a = α^{2}

. Ezt fogjuk meghatározni. Az osztást végrehajtva a

h (x)

hányados- és az

m (x)

maradék-polinom:

\begin{matrix} h (x) = x^{4} - 2 x^{3} + (a - 9) x^{2} + (14 - 2 a) x + (24 - 9 a + a^{2}), & (10) \\ m (x) = (- 20 + 14 a - 2 a^{2}) x + (- 20 + 24 a - 9 a^{2} + a^{3}) . \end{matrix}

Az utóbbinak azonosan

0

-nak kell lennie, tehát

a

olyan szám, amelyre egyidejűleg teljesül:

\begin{matrix} - 20 + 14 a - 2 a^{2} = 0, & (11) \\ 20 + 24 a - 9 a^{2} + a^{3} = 0. & (12) \end{matrix}

(11) gyökei

a_{1} = 2

és

a_{2} = 5

, és mindkettő a (12)-nek is gyöke. Ezzel ismét meg kaptuk (1)-nek

x_{1, 2} = \pm \sqrt[]{2}

x_{3, 4} = \pm \sqrt[]{5}

gyökeit és a II. megoldás befejezése szerint haladunk tovább.

Megjegyzések. 1. Ha (1)-ből a gyök-párokat egyenként választjuk le, az első osztás hányadosát (10)-ből kapjuk

a = 2

(vagy

a = 5

) helyettesítéssel.
2. Magyarázza meg az olvasó a (11) bal oldala és a (9)-hez vezető osztó közti kapcsolatot.