Kezdőlap


Feladat:	1595. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gulyás Imre
Füzet:	1969/január, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú függvények, Függvények ábrázolása, Középpontos tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1595. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett pont $P_{0} (x_{0}$ , $y_{0})$ , és erre a $P (x$ , $y)$ pontot tükrözve a $P'$ ( $x'$ , $y'$ ) pontot kapjuk. Ekkor a $P P'$ szakasz felezőpontja $P_{0}$ ezért

\begin{matrix} \frac{x + x'}{2} = x_{0} és \frac{y + y'}{2} = y_{0}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x' = 2 x_{0} - x, y' = 2 y_{0} - y . \end{matrix}

(2)

A követelmény szerint, ha tetszés szerinti

x

esetén

P

rajta van az (1) egyenletű görbén, akkor

P'

-nek is rajta kell lennie, azaz

\begin{matrix} y' = x'^{3} + a x'^{2} + b x' + c . \end{matrix}

Ide (2)-t, majd (1)-et behelyettesítve, rendezés után

\begin{matrix} 2 y_{0} - y = 2 y_{0} - x^{3} - a x^{2} - b x - c = {(2 x_{0} - x)}^{3} + a {(2 x_{0} - x)}^{2} + b (2 x_{0} - x) + c, \\ 2 (a + 3 x_{0}) x^{2} - 4 x_{0} (a + 3 x_{0}) x + 2 (4 x_{0}^{3} + 2 a x_{0}^{2} + b x_{0} + c - y_{0}) = 0. \end{matrix}

Ez csak úgy állhat fenn bármely

x

esetén, ha minden együttható 0. Az első együttható 0, ha

\begin{matrix} x_{0} = - \frac{a}{3}, \end{matrix}

és ekkor a második is 0. A harmadik együttható eltűnéséből pedig,

x_{0}

talált értékét behelyettesítve

\begin{matrix} y_{0} = 4 x_{0}^{3} + 2 a x_{0}^{2} + b x_{0} + c = \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c . \end{matrix}

Eszerint a görbének a

P_{0} (x_{0}

y_{0})

pontra vett tükörképe önmaga. Még csak azt kell belátnunk, hogy

P_{0}

rajta van a görbén. Valóban, a talált

x_{0} = - a / 3

abszcissza esetében a görbepont ordinátája

\begin{matrix} y = {(- \frac{a}{3})}^{3} + a {(- \frac{a}{3})}^{2} + b (- \frac{a}{3}) + c = \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c = y_{0} \end{matrix}

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Gulyás Imre (Budapest, Piarista Gimn., III. o. t.)