Feladat: 1594. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Beáta ,  Csetényi A. ,  Fischer Ágnes ,  Gegesy F. ,  Kemény András ,  Komjáth P. ,  Koren A. ,  Kovalszky R. ,  László I. ,  Lempert L. ,  Máthé Mariann ,  Siklósi M. ,  Somogyi Á. ,  Sztrapkovics László 
Füzet: 1968/december, 204 - 205. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/március: 1594. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel minden pozitív alapú exponenciális függvény értékkészlete pozitív, így egyenletünk ekvivalens a 4x-nel való átosztás útján keletkező

m+n(94)x=(64)x=(32)x
egyenlettel, ami az y=(3/2)x jelöléssel a következőbe megy át:
ny2-y+m=0.(2)

Mivel y is csak pozitív lehet, azt kell eldöntenünk, ennek hány pozitív megoldása lehet.
n=0 esetén (2) elsőfokú egyenlet, csak y=m lehet, és ez x-re egy megoldást ad, ha m>0, mert az exponenciális függvény minden pozitív értéket egyetlen x helyen vesz föl.
Hasonlóan m=0 esetén csak az y=1/n gyök ad egy megfelelő x értéket, amennyiben n>0.
Ha m, n egyike sem 0, akkor (2)-ből
y=12n(1±1-4mn).

A zárójelből adódó két érték egymással ellenkező előjelű, ha mn<0, s így y-ra is, tehát x-re is egy pozitív értéket kapunk, bármi is az n. Ha 0<mn<1/4, akkor a zárójelbeli értékek pozitívok, így pozitív n esetén két pozitív y (és x) érték adódik, negatív n esetén egy sem. mn=1/4-re y=1/(2n) pozitív, ha n pozitív, negatív n-re ismét nincs (1)-nek megoldása, és ugyancsak nincs megoldás, ha mn>1/4.
 

 

A megoldások számát az m, n koordináta-rendszerben az ábra tünteti fel vonalanként, ill. síkrészenként.
 

  Kemény András (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)
  Sztapkovics László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)