A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Tekintsük az említett ötszöglapot a poliéder alaplapjának úgy, hogy , , , ekkor . A további lapok száma , így mindegyiküknek van éle az alapon, és az alapsíkra merőleges lap a élhez kapcsolódik; legyen ennek harmadik csúcsa , a hátra levő . csúcs pedig . A és alapélre támaszkodó oldallapoknak a konvexség miatt át kell menniük -en. további vizsgálata aszerint alakul, hogy -ben csak a mondott lap metszi egymást, vagy még további lap is. Ha -lapú csúcs ‐ azaz egyszersmind -élű is ‐, akkor -nek -ből kiinduló harmadik élét az , oldallapsíkok metszésvonala tartalmazza (1. ábra). A metszésvonal az alaplap síkját a , egyenesek metszéspontjában, a téglalap lemetszett csúcsában döfi át, másrészt átmegy -n, hiszen az alapcsúcs egyikén sem mehet át. E metszésvonalnak egyetlen pontja van az alap fölött magasságban, eszerint egyértelműen meg van határozva, hacsak , hiszen a konvexség miatt -nek a sík -t tartalmazó oldalán kell lennie, vagyis a szakasz -en túli meghosszabbításán. ‐ Ezek szerint az -ben összefutó lapok a , négyszögek, a hátra levő lap pedig a konvexség alapján az és háromszög. Ebben az esetben -t az gúlából is származtathatjuk a gúla lemetszése útján.
1. ábra 2. ábra Amennyiben a poliéder további oldallapjának is csúcsa ‐ ti. az alaphoz a , , élen kapcsolódó lapokon túl ‐, ez csak az egyik lehet az alaphoz a hátra levő és élen kapcsolódó lapok közül, különben ugyanis a keletkező konvex poliéder ötoldalú gúla lenne, és nem lehetne . csúcsa. Elég azt az esetet tekintenünk, ha az -en átmenő negyedik oldallapsík az élen kapcsolódik, hiszen a másik lehetőség ebbe megy át a , és , betű-párok egyidejű fölcserélésével, és ez a fölcserélés az alapidom tulajdonságait változatlanul hagyja (2. ábra). Ekkor az -ben összefutó lapsík egymásutánja (‐ ponttal meghatározva) , , , , és így az utolsó lap az első laphoz élben csatlakozik. S mivel e két sík tartalmazza a téglalap szemben fekvő, tehát párhuzamos , oldalegyenesét, azért az -en áthaladó metszésvonaluk is párhuzamos ezekkel, és így az alap síkjával is. Ezen kell lennie -nek, ilyen megoldás tehát csak esetén lehetséges, és megfordítva: e feltétel mellett nincs is más megoldás. Így azonban -ként szerepelhet az -ből kiinduló és -val egyirányú félegyenes bármely pontja, tehát nincs egyértelműen meghatározva. II. felszínének és térfogatának kérdését csak az előbbi (azaz feltételű) esetben vizsgálhatjuk (1. ábra). térfogata, mint az és gúlák térfogatának különbsége | | a numerikus adatokkal térfogategység. III. A , lapok területét szintén a lemetszésre támaszkodva számítjuk. Legyen és vetülete a egyenesen , , az alaplap síkján , , a legutóbbi felezi a alapélt, ennélfogva negyedeli a téglalap átlóját, így pedig a fentiek szerint is rajta van az átlón. Ezért és , valamint és hasonló háromszögek, így -nak a , egyenestől való távolsága | | ennélfogva az , egyenestől való távolsága
Így a , , , oldalháromszög magassága:
és hasonlóan az , háromszög -ből induló magassága felszínét most már úgy kapjuk, hogy e magasságot rendre megszorozzuk a megfelelő alap felével: -vel, -vel, -vel, -vel, -gyel, -gyel, és e szorzatok összegéhez hozzáadjuk a háromszög és az alaplap területének összegét. Alkalmas összevonásokkal:
A számadatokkal területegység. Nagy András (Budapest, Toldy F. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján. Megjegyzés. esetén az csúcsba esik, és képlete némileg egyszerűbbé válik. |