Kezdőlap


Feladat:	1590. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kérchy László , Zaymus Vince
Füzet:	1968/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1590. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Válasszuk koordinátatengelyeknek az $A B$ szakasz egyenesét és felező merőlegesét. Ekkor az $A B C$ háromszög $A$ és $B$ csúcsának koordinátái $(- c / 2,0)$ , (c/2, 0) ahol $c = A B > 0$ a $C$ csúcséi pedig $(x, y)$ . A háromszög területe $| y | \cdot c / 2$ , eszerint a koordinátákra teljesül

\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = c^{2} + {(x - \frac{c}{2})}^{2} + y^{2} + {(x + \frac{c}{2})}^{2} + y^{2} = 4 c \cdot | y |, \\ x^{2} + {(| y | - c)}^{2} - \frac{c^{2}}{4} = 0. & (1) \end{matrix}

C

egy az

x

tengely fölötti, ill. alatti megfelelő pont, azaz

y \geq 0,

, ill.

y < 0

, akkor (1) így alakul:

\begin{matrix} (2) x^{2} + {(y - c)}^{2} - c^{2} / 4 = 0, ill. (3) x^{2} + {(y + c)}^{2} - c^{2} / 4 = 0, \end{matrix}

vagyis

C

rajta van a (

0, c

) és (

0, - c

) közepű,

c / 2

sugar körök egyikén.
Fordítva, ha

(x, y)

a két kör valamelyikének pontja, vagyis fennáll (2) vagy (3), akkor a bal oldal 2-szerese olyan különbséggé alakítható, melynek egyik tagja az oldalak négyzetösszege, a másik pedig a háromszög területe abszolút értékének 8-szorosa. Eszerint a két kör kerületének minden pontja a mértani helyhez tartozik.
Zaymus Vince (Pannonhalma, Bencés Gimn., I. o. t.)

II. megoldás. Legyen

C

vetülete az

A B

egyenesen

D

és

A D = d

(pozitív, ha

D

A B

félegyenesen van, negatív, ha az

A

-n túli meghosszabbításon), továbbá

D C = m_{c}

. Ekkor a szokásos jelölésekkel minden esetben

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = m_{c}^{2} + {(c - d)}^{2} + m_{c}^{2} + d^{2} + c^{2} = 4 c m_{c}, \\ {(m_{c} - c)}^{2} = d (c - d), m_{c} = c \pm \sqrt[]{d (c - d)} . \end{matrix}

A gyökös kifejezés, mint

A D

és

B D

mértani középarányosa, az

A B

átmérőjű kör és a

D C

egyenes két metszéspontjának,

C^{*}

-nak és

C^{* *}

-nak

A B

-től való távolságát jelenti ‐ ti. amennyiben a

D C

egyenesen is irányítást vezetünk be. Eszerint

C

mértani helye a mondott körnek

A B

-re merőlegesen,

A B = c

távolságra való eltolásával adódik.

Az eltolás természetesen mindkét irányban lehetséges.

Kérchy László (Baja, III. Béla Gimn., II. o. t.)